Determine as expressões de
e
, para as funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e define
. Pede-se:
- a expressão de
; - o valor de
.
Informações relevantes: a função está escrita como uma razão de polinômios (fração racional);
é o valor da função em
. Note que a função não está definida em
.
Passo 2
Vamos lembrar e demonstrar a fórmula para a derivada da inversa. Se
e
tem inversa
numa vizinhança, então vale a identidade composta
Diferenciando ambos os lados em relação a
(regra da cadeia) obtemos
Isolando
temos a fórmula fundamental:
Explicação didática: isto vem da regra da cadeia. Pense assim: se
, então
. A variação de
em relação a
é o inverso da variação de
em relação a
, desde que
não seja zero.
Passo 3
Aplicando a fórmula acima ao caso
(ou seja, substituindo
na expressão), obtemos a relação prática muito usada em provas:
Isto é intuitivo: derivar a inversa no ponto
é simplesmente o inverso da derivada de
no ponto
. Condição necessária:
.
Passo 4
Agora precisamos calcular
para a função dada. Usamos a regra do quociente: se
com
e
, então
Calculemos as derivadas simples:
e
. Substituindo:
Passo 5
Agora simplificamos o numerador passo a passo:
Logo
Observação:
para todo
, então a função é estritamente crescente em cada intervalo em que está definida, o que garante inversibilidade local; além disso
sempre que
, então podemos usar a fórmula da inversa nesses pontos.
Passo 6
Usando a fórmula obtida no Passo 3 e o valor de
do Passo 5, temos
Este é o resultado simbólico pedido para
. Lembre-se da condição
.
Passo 7
Agora calculamos
. Substituindo
em
:
Portanto
.
Passo 8
Finalmente, para obter
usamos que
, então
Alternativamente poderíamos ter aplicado
com
e obter o mesmo resultado
.