Determine as expressões de \left(f^{-1}\right)^{\prime}(f(x)) e \left(f^{-1}\right)^{\prime}(b), para as funções:
f(x)=\frac{3 x-2}{x+2} ; b=f(6)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{3x-2}{x+2}
e define b=f(6). Pede-se:
  1. a expressão de \left(f^{-1}\right)^{\prime}(f(x));
  2. o valor de \left(f^{-1}\right)^{\prime}(b).
Informações relevantes: a função está escrita como uma razão de polinômios (fração racional); b é o valor da função em x=6. Note que a função não está definida em x=-2.

Passo 2

Vamos lembrar e demonstrar a fórmula para a derivada da inversa. Se y=f(x) e f tem inversa f^{-1} numa vizinhança, então vale a identidade composta
f\big(f^{-1}(y)\big)=y.
Diferenciando ambos os lados em relação a y (regra da cadeia) obtemos
f'\big(f^{-1}(y)\big)\cdot\big(f^{-1}\big)'(y)=1.
Isolando \big(f^{-1}\big)'(y) temos a fórmula fundamental:
\big(f^{-1}\big)'(y)=\frac{1}{f'\big(f^{-1}(y)\big)}.
Explicação didática: isto vem da regra da cadeia. Pense assim: se y=f(x), então x=f^{-1}(y). A variação de x em relação a y é o inverso da variação de y em relação a x, desde que f' não seja zero.

Passo 3

Aplicando a fórmula acima ao caso y=f(x) (ou seja, substituindo y=f(x) na expressão), obtemos a relação prática muito usada em provas:
\big(f^{-1}\big)'\big(f(x)\big)=\frac{1}{f'(x)}.
Isto é intuitivo: derivar a inversa no ponto f(x) é simplesmente o inverso da derivada de f no ponto x. Condição necessária: f'(x)\neq 0.

Passo 4

Agora precisamos calcular f'(x) para a função dada. Usamos a regra do quociente: se f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} com u(x)=3x-2 e v(x)=x+2, então
f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Calculemos as derivadas simples: u'(x)=3 e v'(x)=1. Substituindo:
f'(x)=\frac{3(x+2)-(3x-2)\cdot 1}{(x+2)^{2}}.

Passo 5

Agora simplificamos o numerador passo a passo:
3(x+2)=3x+6,
3x+6-(3x-2)=3x+6-3x+2=8.
Logo
f'(x)=\frac{8}{(x+2)^{2}}.
Observação: f'(x)>0 para todo x\neq -2, então a função é estritamente crescente em cada intervalo em que está definida, o que garante inversibilidade local; além disso f'(x)\neq0 sempre que x\neq-2, então podemos usar a fórmula da inversa nesses pontos.

Passo 6

Usando a fórmula obtida no Passo 3 e o valor de f'(x) do Passo 5, temos
\big(f^{-1}\big)'\big(f(x)\big)=\frac{1}{f'(x)}=\frac{1}{\dfrac{8}{(x+2)^{2}}}=\frac{(x+2)^{2}}{8}.
Este é o resultado simbólico pedido para \big(f^{-1}\big)'(f(x)). Lembre-se da condição x\neq -2.

Passo 7

Agora calculamos b=f(6). Substituindo x=6 em f:
b=f(6)=\frac{3\cdot 6-2}{6+2}=\frac{18-2}{8}=\frac{16}{8}=2.
Portanto b=2.

Passo 8

Finalmente, para obter \big(f^{-1}\big)'(b) usamos que b=f(6), então
\big(f^{-1}\big)'(b)=\big(f^{-1}\big)'\big(f(6)\big)=\frac{(6+2)^{2}}{8}=\frac{64}{8}=8.
Alternativamente poderíamos ter aplicado \big(f^{-1}\big)'(b)=1/f'(6) com f'(6)=8/(6+2)^{2}=8/64=1/8 e obter o mesmo resultado 8.

Resposta

\big(f^{-1}\big)'\big(f(x)\big)=\dfrac{(x+2)^{2}}{8}
\big(f^{-1}\big)'(b)=8

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