Determine a expressão do operador T em R^2 cuja matriz da transformação em relação a base B=(-1,2),(2,1) é dada abaixo.
[T]B=[cc 1 & 3 -2 & 5 ]

Passo 1

O enunciado pede a expressão de um operador linear T:R^2toR^2 cujo a matriz em relação à base
B=v1,v2=(-1,2),(2,1)
é
[T]B= 1 & 3 -2 & 5
Para achar a fórmula de T no sistema de coordenadas canônico, vamos usar o método de mudança de base: se
S=l[v1;v2r]
é a matriz que leva coordenadas em B para coordenadas canônicas, então
[T]can ;=; S,[T]B,S^-1

Passo 2

Construímos a matriz S cujas colunas são os vetores de B escritos na base canônica:
S = -1 & 2 2 & 1
O determinante é
det(S)=(-1)cdot1 - 2cdot2 = -1-4 = -5
Logo, a inversa de S é
S^-1 = 1det(S) -1 & -2 -2 & -1 = -15 1 & -2 -2 & -1 = -tfrac15 & tfrac25[6pt] tfrac25 & tfrac15 ]

Passo 3

Vamos calcular primeiro
M S^-1 onde M=[T]B = 1&3-2&5,
M,S^-1 = 1&3-2&5 -tfrac15 & tfrac25[3pt] tfrac25 & tfrac15 = 1cdot(-tfrac15)+3cdottfrac25 & 1cdottfrac25+3cdottfrac15[3pt] -2cdot(-tfrac15)+5cdottfrac25 & -2cdottfrac25+5cdottfrac15 = 1 & 1[3pt] tfrac125 & tfrac15 ]

Passo 4

Agora multiplicamos pela esquerda por S para obter [T]can:
[T]can = S,(M,S^-1) = -1&22&1 1 & 1[3pt] tfrac125 & tfrac15 = -1cdot1 +2cdottfrac125 & -1cdot1 +2cdottfrac15[5pt] 2cdot1 +1cdottfrac125 & 2cdot1 +1cdottfrac15 = tfrac195 & -tfrac35[3pt] tfrac225 & tfrac115 ]

Passo 5

A matriz de T na base canônica é
[T]can = tfrac195 & -tfrac35[3pt] tfrac225 & tfrac115 ,
isto é, para ,(x,y)inR^2,
T(x,y) = l(tfrac195x - tfrac35y,;tfrac225x + tfrac115yr) ]

Resposta

T(x,y)=l(19x-3y5,,22x+11y5r)

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