Seja o operador linear T: R^2 R^2, sendo T(x, y)=(x+2 y,-x+y). Determine T^-1(x, y), se possível.

Passo 1

O enunciado define o operador linear Tcolon R^2toR^2 por
T(x,y)=(x+2y,,-x+y),
e pede T^-1, caso exista. O conteúdo aqui é transformação linear, representação matricial, cálculo do determinante e inversão de matriz ou, equivalentemente, solução de um sistema linear.

Passo 2

Escrevemos T na forma matricial T(v)=Av, com
A = 1 & 2 -1 & 1
O determinante é
det(A) = 1 cdot 1 - (-1) cdot 2 = 1 + 2 = 3 neq 0,
logo A é invertível e T tem inversa.

Passo 3

Para achar
Da segunda equação vem (y = x + v]. Substituindo na primeira:

Então

Resposta

T^-1(x,y) ;=;l(tfracx-2y3,;tfracx+y3r)

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