Seja A=(1,0,0),(0,1,-1),(1,-1,0) uma base do R^3. Determine a matriz da transformação T na na base A, tal que, T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(x-z,-z, y+2 z).

Passo 1

A gente quer representar a transformação linear
T(x,y,z) = (,x - z,,-z,,y + 2z,)
na base A = v1,v2,v3, onde
v1 = (1,0,0), v2 = (0,1,-1), v3 = (1,-1,0)
Para isso, vamos calcular T(vi) e escrever cada vetor T(vi) como combinação linear de v1,v2,v3. Os coeficientes dessas combinações serão as colunas da matriz de T na base A.

Passo 2

Calcular T(v1) e achar suas coordenadas em A.
T(v1)=T(1,0,0) = (1-0,,-0,,0+2cdot0) = (1,0,0)
Como (1,0,0)=1cdot v1 + 0cdot v2 + 0cdot v3, as coordenadas de T(v1) em A são
100

Passo 3

Calcular
Procuramos tais que
Isto é,
Igualando coordenadas:
Logo as coordenadas de são

Passo 4

Calcular
Procuramos tais que
ou seja
Isso gera o sistema
Assim as coordenadas de são

Resposta

A matriz de T na base A tem colunas dadas pelas coordenadas de T(v1), T(v2) e T(v3). Portanto,
[T]A = 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1

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