Determine a expressão de \operatorname{det}(A-\lambda I) e \operatorname{de} \operatorname{det}(B-\lambda I) (polinômios na variável \lambda ) para A=\left(\begin{array}{ll}2 & 0 \\\\ 5 & 3\end{array}\right) e B=\left(\begin{array}{ccc}5 & 6 & 2 \\\\ 0 & -1 & -8 \\\\ 1 & 0 & -2\end{array}\right).
Quais valores de \lambda tornam as matrizes A-\lambda I e B-\lambda I singulares?

Passo 1

O enunciado pede os polinômios característicos
\det(A-\lambda I) e \det(B-\lambda I) e em seguida os valores de \lambda que tornam cada matriz singular (isto é, que anulam esses determinantes). Vamos usar a definição de determinante por expansão ( 2\times 2 e 3\times 3) e depois resolver as equações \det(\cdot)=0.

Passo 2

Para A=\begin{pmatrix}2&0\\\ 5&3\end{pmatrix},
\det(A-\lambda I) =\det\!\begin{pmatrix}2-\lambda&0\\\ 5&3-\lambda\end{pmatrix} =(2-\lambda)(3-\lambda)-0
\det(A-\lambda I) =(2-\lambda)(3-\lambda) =\lambda^2-5\lambda+6.

Passo 3

Tornamos A-\lambda I singular impondo
\lambda^2-5\lambda+6=0.
As raízes são
\lambda=\frac{5\pm\sqrt{25-24}}{2} =\frac{5\pm1}{2},
isto é,
\lambda=2 ou \lambda=3.

Passo 4

Para
B=\begin{pmatrix}5&6&2\\\ 0&-1&-8\\\ 1&0&-2\end{pmatrix},
fazemos a expansão por cofactores na primeira linha:
\det(B-\lambda I) =\det\!\begin{pmatrix} 5-\lambda&6&2\\\\ 0&-1-\lambda&-8\\\\ 1&0&-2-\lambda \end{pmatrix} =-\lambda^3+2\lambda^2+15\lambda-36.
Fatorando, notamos que
-\lambda^3+2\lambda^2+15\lambda-36 =-(\lambda-3)^2(\lambda+4).

Passo 5

Impondo \det(B-\lambda I)=0 vem
-(\lambda-3)^2(\lambda+4)=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda=3\text{ ou }\lambda=-4.

Resposta

\det(A-\lambda I)=\lambda^2-5\lambda+6, singular em \lambda=2,3.
\det(B-\lambda I)=-\lambda^3+2\lambda^2+15\lambda-36=-(\lambda-3)^2(\lambda+4), singular em \lambda=3,-4.

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