Determine a expressão de \operatorname{det}(A-\lambda I) e \operatorname{de} \operatorname{det}(B-\lambda I) (polinômios na variável \lambda ) para A=\left(\begin{array}{ll}2 & 0 \\\\ 5 & 3\end{array}\right) e B=\left(\begin{array}{ccc}5 & 6 & 2 \\\\ 0 & -1 & -8 \\\\ 1 & 0 & -2\end{array}\right).
Quais valores de \lambda tornam as matrizes A-\lambda I e B-\lambda I singulares?
Passo 1
O enunciado pede os polinômios característicos \det(A-\lambda I) e \det(B-\lambda I) e em seguida os valores de \lambda que tornam cada matriz singular (isto é, que anulam esses determinantes). Vamos usar a definição de determinante por expansão (2\times 2 e 3\times 3) e depois resolver as equações \det(\cdot)=0.
-(\lambda-3)^2(\lambda+4)=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda=3\text{ ou }\lambda=-4.
Resposta
\det(A-\lambda I)=\lambda^2-5\lambda+6, singular em \lambda=2,3. \det(B-\lambda I)=-\lambda^3+2\lambda^2+15\lambda-36=-(\lambda-3)^2(\lambda+4), singular em \lambda=3,-4.