Verdadeiro ou Falso? Se for verdadeiro, demonstre. Se for falso, justifique.
(a) Se A é uma matriz m \times n e B é uma matriz n \times m com m \neq n, então \operatorname{det}(A B)=\operatorname{det}(A) \operatorname{det}(B)
(b) Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, então \operatorname{det}(A+B)=\operatorname{det}(A)+\operatorname{det}(B)
(c) Para uma matriz A quadrada, tem-se \operatorname{det}(k A)=k \operatorname{det}(A)
(d) Se P é uma matriz quadrada \operatorname{com} \operatorname{det}(P)=1 então P^{-1}=P
Passo 1
O enunciado apresenta quatro proposições sobre determinantes de matrizes. Vamos analisar cada uma delas usando propriedades básicas de determinante e contraexemplos quando necessário.
Passo 2
Proposição (a): “Se A é m\times n e B é n\times m com m\neq n, então \det(A B)=\det(A)\,\det(B).”
Para usar a fórmula \det(A)\det(B) é preciso que A e B sejam quadradas. Aqui A não é m\times m e B não é n\times n, logo \det(A) e \det(B) não estão definidas. Apesar de AB ser m\times m e ter seu determinante, a igualdade faz sentido apenas quando A e B são quadradas. Portanto, a proposição é falsa.
Passo 3
Proposição (b): “Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, então \det(A+B)=\det(A)+\det(B).”
Contraexemplo com matrizes 2\times2:
A = \begin{pmatrix}1 & 0\\\\ 0 & 1\end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}1 & 0\\\\ 0 & 1\end{pmatrix}.
Então
A+B = 2\,I_2,\quad \det(A+B)=\det(2I_2)=4,
mas
\det(A)+\det(B)=1+1=2\neq4.
Logo a proposição é falsa.
Passo 4
Proposição (c): “Para uma matriz A quadrada, tem-se \det(kA)=k\,\det(A).”
A propriedade correta é
\det(kA)=k^n\,\det(A)
para uma matriz n\times n. Assim, em geral \det(kA)\neq k\,\det(A) (exceto quando n=1). Portanto, a proposição é falsa.
Passo 5
Proposição (d): “Se P é quadrada com \det(P)=1 então P^{-1}=P.”
Tomemos como contraexemplo a matriz de rotação em \mathbb R^2 de 90^\circ: