Usando a definição ou o teorema de Laplace, calcule o determinante das matrizes abaixo:
\left(\begin{array}{cccc}3 & -2 & -3 & 4 \\\\ 2 & 3 & 2 & 1 \\\\ 1 & -2 & 1 & -2 \\\\ -6 & 5 & 2 & 7\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede o determinante de uma matriz 4\times4 usando a definição ou o teorema de Laplace. Vamos aplicar a expansão de Laplace ao longo da primeira coluna, pois isso nos conduz a calcular quatro determinantes 3\times3 (os cofatores).

Passo 2

Pela regra de Laplace ao longo da coluna 1, temos
\det A \;=\;\sum_{i=1}^{4}(-1)^{i+1}\,a_{i1}\,\det M_{i1}
onde a_{i1} é o elemento da linha i, coluna 1, e M_{i1} é a matriz que sobra ao riscar a linha i e a coluna 1.

Passo 3

Cálculo de \det M_{11}: riscando linha 1 e coluna 1 sobra
M_{11} = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1\\\\ -2 & 1 & -2\\\\ 5 & 2 & 7 \end{pmatrix}
Logo
\det M_{11} =3\,(1\cdot7-(-2)\cdot2)\;-\;2\,((-2)\cdot7-(-2)\cdot5)\;+\;1\,((-2)\cdot2-1\cdot5) =3\cdot11-2\cdot(-4)+(-9) =32.

Passo 4

Cálculo de \det M_{21}: riscando linha 2 e coluna 1 sobra
M_{21} = \begin{pmatrix} -2 & -3 & 4\\\\ -2 & 1 & -2\\\\ 5 & 2 & 7 \end{pmatrix}
Logo
\det M_{21} =-2\,(1\cdot7-(-2)\cdot2)\;-\;(-3)\,((-2)\cdot7-(-2)\cdot5)\;+\;4\,((-2)\cdot2-1\cdot5) =-2\cdot11+3\cdot(-4)+4\cdot(-9) =-70.

Passo 5

Cálculo de \det M_{31}: riscando linha 3 e coluna 1 sobra
M_{31} = \begin{pmatrix} -2 & -3 & 4\\\\ 3 & 2 & 1\\\\ 5 & 2 & 7 \end{pmatrix}
Logo
\det M_{31} =-2\,(2\cdot7-1\cdot2)\;-\;(-3)\,(3\cdot7-1\cdot5)\;+\;4\,(3\cdot2-2\cdot5) =-2\cdot12+3\cdot16+4\cdot(-4) =8.

Passo 6

Cálculo de \det M_{41}: riscando linha 4 e coluna 1 sobra
M_{41} = \begin{pmatrix} -2 & -3 & 4\\\\ 3 & 2 & 1\\\\ -2 & 1 & -2 \end{pmatrix}
Logo
\det M_{41} =-2\,(2\cdot(-2)-1\cdot1)\;-\;(-3)\,(3\cdot(-2)-1\cdot(-2))\;+\;4\,(3\cdot1-2\cdot(-2)) =10-12+28 =26.

Passo 7

Agora montamos a expansão de Laplace:
\det A =+\,3\cdot\det M_{11} \;-\;2\cdot\det M_{21} \;+\;1\cdot\det M_{31} \;-\;(-6)\cdot\det M_{41}
Substituindo os valores:
\det A =3\cdot32 \;-\;2\cdot(-70)\;+\;1\cdot8\;+\;6\cdot26 =96+140+8+156 =400.

Resposta

O determinante da matriz é 400.

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