Simplifique as frações algébricas, assumindo que os denominadores são diferentes de zero:
(c) \frac{4 x^{2}-4 x+1}{2 x^{2}-x}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a fração algébrica (assumindo que os denominadores são diferentes de zero):
\frac{4x^{2}-4x+1}{2x^{2}-x}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • Numerador: \,4x^{2}-4x+1.
  • Denominador: \,2x^{2}-x.
  • Pressuposto: os denominadores (os valores de x que zerariam o denominador) são diferentes de zero — isso significa que devemos lembrar de excluir esses valores ao final.
  • Pedido: simplificar a expressão, ou seja, fatorar e cancelar fatores comuns quando for permitido.

Passo 2

Vamos analisar o numerador e ver se ele é fatorável de forma simples. Observar a forma
4x^{2}-4x+1
é útil tentar reconhecer um quadrado perfeito. Lembrando: (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}. Se tomarmos a=2x e b=1 temos
(2x-1)^{2}=(2x)^{2}-2\cdot(2x)\cdot1+1^{2}=4x^{2}-4x+1.
Portanto o numerador é exatamente um quadrado perfeito:
4x^{2}-4x+1=(2x-1)^{2}.

Passo 3

Agora fatoramos o denominador
2x^{2}-x.
Aqui podemos colocar x em evidência (fator comum):
2x^{2}-x = x(2x-1).

Passo 4

Reescrevendo a fração com as fatorações encontradas:
\frac{4x^{2}-4x+1}{2x^{2}-x}=\frac{(2x-1)^{2}}{x(2x-1)}.
Há um fator comum (2x-1) no numerador e no denominador. Podemos cancelar esse fator, mas atenção: só é permitido cancelar um fator se ele for diferente de zero. Assim, cancelando (2x-1) obtemos
\frac{(2x-1)^{2}}{x(2x-1)}=\frac{2x-1}{x},
com a condição de que 2x-1\neq0 (ou seja, x\neq\dfrac{1}{2}) e também x\neq0 (porque o denominador original não pode ser zero).

Passo 5

Interpretação final e forma alternativa: a forma simplificada é
\frac{2x-1}{x}.
Podemos também escrever essa fração como uma soma mais simples (dividindo cada termo por x):
\frac{2x-1}{x}=2-\frac{1}{x},
válida para os mesmos valores excluídos do domínio.

Resposta

\dfrac{2x-1}{x},\quad x\neq0,\\ x\neq\dfrac{1}{2}

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