Determine a expressão que representa o valor da integral integral0^4(x+x^2 y^2) d y

Passo 1

Vamos resolver a integral definida integral0^4(x + x^2 y^2) dy. Esse exercício faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente da integração de funções em uma variável. Para resolver, vamos integrar cada termo da expressão separadamente em relação a y.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar o termo x em relação a y. Como x é uma constante em relação a y, a integral de x em relação a y é:
integral x , dy = x cdot y

Passo 3

Agora, vamos integrar o termo x^2 y^2 em relação a y. Aqui, x^2 também é uma constante em relação a y, então a integral fica:
integral x^2 y^2 , dy = x^2 cdot y^33

Passo 4

Vamos somar as integrais dos dois termos:
integral0^4(x + x^2 y^2) dy = [ x cdot y + x^2 cdot y^33 ]0^4

Passo 5

Agora, avaliamos a expressão nos limites de y = 4 e y = 0:
Para y = 4:
x cdot 4 + x^2 cdot 4^33 = 4x + 64x^23
Para y = 0:
x cdot 0 + x^2 cdot 0^33 = 0

Resposta

A expressão que representa o valor da integral é 4x + dfrac64x^23.

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