Determine a expressão do termo geral das seguintes séries:
1+\frac{2}{2}+\frac{3}{4}+\frac{4}{8}+\frac{5}{16}+\cdots

Passo 1

Vamos entender claramente o que o enunciado dá e o que pede. A série apresentada tem termos:
1,\;\frac{2}{2},\;\frac{3}{4},\;\frac{4}{8},\;\frac{5}{16},\;\ldots
A pergunta pede a expressão do termo geral dessa sequência (ou seja, dado um índice, qual é o valor do termo correspondente). Não é pedido somar a série, apenas encontrar a fórmula que gera cada termo.

Passo 2

Observar o padrão do numerador. Os numeradores são
1,\,2,\,3,\,4,\,5,\ldots
Isto é, aumentam de 1 em 1. Uma forma natural de indexar isso é dizer que o n-ésimo numerador é simplesmente n. Aqui assumimos n=1,2,3,\ldots.

Passo 3

Observar o padrão do denominador. Os denominadores são
1,\,2,\,4,\,8,\,16,\ldots
Esses são potências de 2: 2^{0},2^{1},2^{2},2^{3},2^{4},\ldots. Para o termo com índice n (onde o primeiro termo corresponde a n=1), o expoente é n-1. Portanto o denominador do n-ésimo termo é 2^{\,n-1}.

Passo 4

Combinar numerador e denominador para obter o termo geral. Como o numerador do n-ésimo termo é n e o denominador é 2^{\,n-1}, a fórmula do n-ésimo termo (denotada por a_n) é
a_n=\frac{n}{2^{\,n-1}},\qquad n=1,2,3,\ldots

Passo 5

Verificação rápida substituindo alguns n:
a_1=\frac{1}{2^{0}}=1,\qquad a_2=\frac{2}{2^{1}}=\frac{2}{2},\qquad a_3=\frac{3}{2^{2}}=\frac{3}{4},
que correspondem exatamente aos termos dados. Observação: uma forma equivalente é
a_n=n\,2^{\,1-n},
ou, usando índice k=n-1,
a_{k+1}=\frac{k+1}{2^{k}},\qquad k=0,1,2,\ldots

Resposta

\displaystyle \frac{n}{2^{\,n-1}}

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