Determine a expressão do termo geral das seguintes séries:
Passo 1
O enunciado pede: determinar a expressão do termo geral da sequência (ou série de termos) cujos primeiros termos são
.
Informações fornecidas que vamos usar:
Informações fornecidas que vamos usar:
- Numeradores:
. - Denominadores:
.
A tarefa é dar uma fórmulaque, para , gere esses termos.
Passo 2
Observando os numeradores:
.
Esse é um padrão muito comum: é uma progressão aritmética com primeiro termo e razão
(cada termo aumenta em
).
Fórmula geral de uma progressão aritmética: se é o primeiro termo e
a razão, então o
-ésimo termo é
Esse é um padrão muito comum: é uma progressão aritmética com primeiro termo
Fórmula geral de uma progressão aritmética: se
Aqui
e
. Então o numerador geral vale
Agora desenvolve essa expressão passo a passo:
Portanto o numerador do
-ésimo termo é
.
Passo 3
Observando os denominadores:
.
Também é uma progressão aritmética, com primeiro termo e razão
(cada termo aumenta em
).
Aplicando a mesma fórmula da progressão aritmética: com e
,
Também é uma progressão aritmética, com primeiro termo
Aplicando a mesma fórmula da progressão aritmética: com
Agora desenvolve:
Portanto o denominador do
-ésimo termo é
.
Passo 4
Juntando numerador e denominador obtém-se a expressão do termo geral: o
-ésimo termo
é a razão entre o numerador e o denominador que acabamos de achar, ou seja
Explicando por que escolhemos
começando em
: os dados do enunciado mostram o primeiro termo como
, então faz sentido indexar
para esse primeiro termo. Sempre verifique substituindo alguns valores de
:
- Para
: (confere). - Para
: (confere). - Para
: (confere).
Passo 5
Pequena dica prática para a prova (resumindo o método que usei, que dá para aplicar rápido):
- Separe numerador e denominador e veja se cada sequência é aritmética (ou geométrica etc.).
- Use
para aritmética e verifique; depois combine as peças.
Isso evita confusão e é rápido de aplicar.