Determine a expressão do termo geral das seguintes séries:
\frac{2}{5}+\frac{4}{8}+\frac{6}{11}+\frac{8}{14}+\frac{10}{17}+\cdots

Passo 1

O enunciado pede: determinar a expressão do termo geral da sequência (ou série de termos) cujos primeiros termos são
\dfrac{2}{5},\\ \dfrac{4}{8},\\ \dfrac{6}{11},\\ \dfrac{8}{14},\\ \dfrac{10}{17},\ldots.
Informações fornecidas que vamos usar:
  • Numeradores: 2,4,6,8,10,\ldots.
  • Denominadores: 5,8,11,14,17,\ldots.
    A tarefa é dar uma fórmula a_n que, para n=1,2,3,\ldots, gere esses termos.

Passo 2

Observando os numeradores: 2,4,6,8,10,\ldots.
Esse é um padrão muito comum: é uma progressão aritmética com primeiro termo 2 e razão 2 (cada termo aumenta em 2).
Fórmula geral de uma progressão aritmética: se b_1 é o primeiro termo e r a razão, então o n-ésimo termo é
b_n = b_1 + (n-1)r.
Aqui b_1=2 e r=2. Então o numerador geral vale
\text{numerador}_n = 2 + (n-1)\cdot 2.
Agora desenvolve essa expressão passo a passo:
2 + (n-1)\cdot 2 = 2 + 2n - 2 = 2n.
Portanto o numerador do n-ésimo termo é 2n.

Passo 3

Observando os denominadores: 5,8,11,14,17,\ldots.
Também é uma progressão aritmética, com primeiro termo 5 e razão 3 (cada termo aumenta em 3).
Aplicando a mesma fórmula da progressão aritmética: com c_1=5 e d=3,
\text{denominador}_n = 5 + (n-1)\cdot 3.
Agora desenvolve:
5 + (n-1)\cdot 3 = 5 + 3n - 3 = 3n + 2.
Portanto o denominador do n-ésimo termo é 3n+2.

Passo 4

Juntando numerador e denominador obtém-se a expressão do termo geral: o n-ésimo termo a_n é a razão entre o numerador e o denominador que acabamos de achar, ou seja
a_n = \frac{2n}{3n+2},\qquad n=1,2,3,\ldots
Explicando por que escolhemos n começando em 1: os dados do enunciado mostram o primeiro termo como \dfrac{2}{5}, então faz sentido indexar n=1 para esse primeiro termo. Sempre verifique substituindo alguns valores de n:
  • Para n=1: \dfrac{2\cdot 1}{3\cdot 1 + 2} = \dfrac{2}{5} (confere).
  • Para n=2: \dfrac{2\cdot 2}{3\cdot 2 + 2} = \dfrac{4}{8} (confere).
  • Para n=3: \dfrac{2\cdot 3}{3\cdot 3 + 2} = \dfrac{6}{11} (confere).

Passo 5

Pequena dica prática para a prova (resumindo o método que usei, que dá para aplicar rápido):
  • Separe numerador e denominador e veja se cada sequência é aritmética (ou geométrica etc.).
  • Use t_n = t_1 + (n-1)d para aritmética e verifique; depois combine as peças.
    Isso evita confusão e é rápido de aplicar.

Resposta

\displaystyle a_n=\frac{2n}{3n+2}

Exercícios relacionados