Um ponto se move com aceleração a(t)=(0,12 t, 5) no instante t. Se, em t=1, as coordenadas de P são (-1,3,3 / 2) e sua velocidade é (3,-2,4), determine o vetor posição, para qualquer instante t.

Passo 1

O enunciado diz que a aceleração do ponto é \r \mathbf{a}(t) = (0,\,12t,\,5), \r
que é a derivada da velocidade: \mathbf{a}(t)=\mathbf{v}'(t). \r
Também sabemos que em t=1 vale \r \mathbf{v}(1)=(3,-2,4) e \r \mathbf{r}(1)=(-1,3,\tfrac32). \r
Para achar \mathbf{r}(t) vamos integrar uma vez para obter \mathbf{v}(t) e depois integrar de novo para \mathbf{r}(t), usando as condições iniciais para determinar as constantes de integração.

Passo 2

Integramos cada componente de \mathbf{a}(t) para achar a velocidade geral \mathbf{v}(t). \r
A componente x dá \r \displaystyle v_x(t)=\int 0\,dt = C_x. \r
A componente y dá \r \displaystyle v_y(t)=\int 12t\,dt =6t^2 + C_y. \r
A componente z dá \r \displaystyle v_z(t)=\int 5\,dt =5t + C_z. \r
Logo \r \displaystyle \mathbf{v}(t)=(C_x,\;6t^2 + C_y,\;5t + C_z).

Passo 3

Usamos \mathbf{v}(1)=(3,-2,4) para determinar C_x,C_y,C_z: \r
para x: C_x=3. \r
para y: 6\cdot1^2 + C_y = -2 6 + C_y = -2 C_y = -8. \r
para z: 5\cdot1 + C_z = 4 5 + C_z = 4 C_z = -1. \r
Portanto \r \displaystyle \mathbf{v}(t) = \bigl(3,\;6t^2-8,\;5t-1\bigr).

Passo 4

Agora integramos \mathbf{v}(t) para obter a posição \mathbf{r}(t): \r
x: \displaystyle r_x(t)=\int 3\,dt =3t + D_x. \r
y: \displaystyle r_y(t)=\int(6t^2-8)\,dt =2t^3 -8t + D_y. \r
z: \displaystyle r_z(t)=\int(5t-1)\,dt =\frac{5}{2}t^2 - t + D_z. \r
Assim \r \displaystyle \mathbf{r}(t)=\Bigl(3t+D_x,\;2t^3-8t+D_y,\;\tfrac{5}{2}t^2 - t + D_z\Bigr).

Passo 5

Usamos \mathbf{r}(1)=(-1,3,\tfrac32) para achar D_x,D_y,D_z: \r
em x: 3\cdot1 + D_x = -1 D_x = -4. \r
em y: 2\cdot1^3 -8\cdot1 + D_y = 3 2 -8 + D_y =3 D_y =9. \r
em z: \tfrac{5}{2}\cdot1^2 -1 + D_z = \tfrac32 \tfrac{5}{2}-1 +D_z = \tfrac32 \tfrac32 +D_z=\tfrac32 D_z=0.

Resposta

\displaystyle \mathbf{r}(t)=\bigl(3t-4,\;2t^3-8t+9,\;\tfrac{5}{2}t^2 - t\bigr).

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