Um ponto se move com aceleração
no instante
. Se, em
, as coordenadas de
são
e sua velocidade é
, determine o vetor posição, para qualquer instante
.
Passo 1
O enunciado diz que a aceleração do ponto é \r
, \r
que é a derivada da velocidade: . \r
Também sabemos que em vale \r
e \r
. \r
Para achar vamos integrar uma vez para obter
e depois integrar de novo para
, usando as condições iniciais para determinar as constantes de integração.
que é a derivada da velocidade:
Também sabemos que em
Para achar
Passo 2
Integramos cada componente de
para achar a velocidade geral
. \r
A componente dá \r
. \r
A componente dá \r
. \r
A componente dá \r
. \r
Logo \r .
A componente
A componente
A componente
Logo \r
Passo 3
Usamos
para determinar
: \r
para :
. \r
para :
⇒
⇒
. \r
para :
⇒
⇒
. \r
Portanto \r
para
para
para
Portanto \r
Passo 4
Agora integramos
para obter a posição
: \r
x: . \r
y: . \r
z: . \r
Assim \r
x:
y:
z:
Assim \r
Passo 5
Usamos
para achar
: \r
em :
⇒
. \r
em :
⇒
⇒
. \r
em :
⇒
⇒
⇒
.
em
em
em