Seja uma lâmina delgada representada pela região D determinada por
e
. Se a densidade em cada ponto
da lâmina é dada por
, determine:
- a massa de D ;
- o momento de inércia polar em relação à origem.
Passo 1
O enunciado descreve uma lâmina delgada com densidade
sobre a região
limitada pelas retas
,
e pelos círculos
O conteúdo aqui é mudar para coordenadas polares
para facilitar a integral, pois em polares
e a densidade fica
.
Passo 2
Em coordenadas polares temos:
e as retas
são
. Logo a região
é
Passo 3
Para a massa
calculamos
A integral em
dá
Como isso não depende de
,
Passo 4
O momento de inércia polar em relação à origem é
A área de
em polares é
Usando
,
Portanto
Resposta
massa:
momento de inércia polar:
momento de inércia polar: