Seja uma lâmina delgada representada pela região D determinada por y=x, y=-x, x^2+y^2=2 x e x^2+y^2=4 x. Se a densidade em cada ponto P=(x, y) da lâmina é dada por de<a 1x^2+y^2, determine:
  1. a massa de D ;
  2. o momento de inércia polar em relação à origem.

Passo 1

O enunciado descreve uma lâmina delgada com densidade de<a(x,y)=de<al/r(x^2+y^2) sobre a região D limitada pelas retas y=x, y=-x e pelos círculos
x^2+y^2=2x, x^2+y^2=4x
O conteúdo aqui é mudar para coordenadas polares (r,theta) para facilitar a integral, pois em polares x^2+y^2=r^2 e a densidade fica de<a/r^2.

Passo 2

Em coordenadas polares temos:
x^2+y^2=2x Longrightarrow r^2=2rcostheta Longrightarrow r=2costheta,
x^2+y^2=4x Longrightarrow r=4costheta,
e as retas y=pm x são theta=pmpi/4. Logo a região D é
-pi4<=theta<=pi4, 2costheta<= r<=4costheta

Passo 3

Para a massa m calculamos
m =integral duplaDde<ar^2,dA =integraltheta=-pi/4^pi/4integralr=2costheta^4costhetade<ar^2;r,dr,dtheta =de<aintegral-pi/4^pi/4integral2costheta^4costheta1r,dr,dtheta
A integral em r
integral2costheta^4costheta1r,dr =ln!l(4costhetar)-ln!l(2costhetar) =ln2
Como isso não depende de theta,
m =de<aintegral-pi/4^pi/4ln2,dtheta =de<a;ln2;l(pi4-l(-pi4r)r) =pi2,de<a,ln2

Passo 4

O momento de inércia polar em relação à origem é
JO =integral duplaDr^2,de<ar^2,dA =de<aintegral duplaD1,dA =de<a;( área de D ) á
A área de D em polares é
Área(D) =integral-pi/4^pi/4integral2costheta^4costhetar,dr,dtheta =integral-pi/4^pi/412l[(4costheta)^2-(2costheta)^2r],dtheta =integral-pi/4^pi/46cos^2theta,dtheta Á
Usando cos^2theta=(1+cos2theta)/2,
Área(D) =6integral-pi/4^pi/41+cos2theta2,dtheta =3l[theta+tfrac12sin2thetar]-pi/4^pi/4 =3l(tfracpi2+1r) =3pi2+3 Á
Portanto
JO =de<al(3pi2+3r)

Resposta

massa: m=pi2,de<a,ln2
momento de inércia polar: JO=de<al(3pi2+3r)

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