Determine os extremantes das funções abaixo:
f(x)=(x-1)^{2 / 3}

Passo 1

O enunciado pede para determinar os extremantes (extremos locais) da função
f(x) = (x-1)^{\frac{2}{3}}.
Este é um problema de cálculo de derivadas e estudo de monotonia: vamos calcular f'(x), achar pontos críticos e analisar o sinal de f'(x) para classificar os extremos.

Passo 2

Primeiro, observamos que o domínio de f é todo \mathbb{R}. Usando a regra da potência, para
f(x) = (x-1)^{\frac{2}{3}}
temos
f'(x) = \frac{2}{3}\,(x-1)^{-\frac{1}{3}}.

Passo 3

Um ponto crítico ocorre onde f'(x)=0 ou f'(x) não está definida.
Aqui f'(x) nunca se anula (o fator \tfrac{2}{3} é não nulo), mas fica indefinida em x=1, pois (x-1)^{-\frac{1}{3}} diverge. Logo, o único ponto crítico é
x = 1.

Passo 4

Analisamos o sinal de f'(x):
  • Para x<1, temos x-1<0. A raiz cúbica de um número negativo é negativa, e o inverso é também negativo, logo (x-1)^{-\frac{1}{3}}<0. Multiplicando por \tfrac{2}{3}>0, resulta f'(x)<0.
  • Para x>1, x-1>0 implica (x-1)^{-\frac{1}{3}}>0, então f'(x)>0.
    Portanto f é decrescente em (-\infty,1) e crescente em (1,\infty), o que caracteriza um mínimo em x=1. Calculamos
f(1) = (1-1)^{\frac{2}{3}} = 0.

Resposta

O único extremo ocorre em x=1, onde f(1)=0. É um mínimo (local e global). Não há pontos de máximo.

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