Determine os extremantes das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para determinar os extremantes (extremos locais) da função
Este é um problema de cálculo de derivadas e estudo de monotonia: vamos calcular
, achar pontos críticos e analisar o sinal de
para classificar os extremos.
Passo 2
Primeiro, observamos que o domínio de
é todo
. Usando a regra da potência, para
temos
Passo 3
Um ponto crítico ocorre onde
ou
não está definida.
Aqui nunca se anula (o fator
é não nulo), mas fica indefinida em
, pois
diverge. Logo, o único ponto crítico é
Aqui
Passo 4
Analisamos o sinal de
:
- Para
, temos . A raiz cúbica de um número negativo é negativa, e o inverso é também negativo, logo . Multiplicando por , resulta . - Para
, implica , então .
Portantoé decrescente em e crescente em , o que caracteriza um mínimo em . Calculamos
Resposta
O único extremo ocorre em
, onde
. É um mínimo (local e global). Não há pontos de máximo.