Determine os extremantes das funções abaixo:
f(x)=\frac{\ln x}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos da função
f(x)=\frac{\ln x}{x^{2}},
considerando o domínio x>0. Vamos usar o cálculo de derivadas para achar pontos críticos (onde f'(x)=0 ou não existe) e depois classificar esses pontos com a segunda derivada.

Passo 2

Calcular f'(x) usando a forma f(x)=(\ln x)\,x^{-2}. Aplicando a regra do produto e da cadeia, temos
f'(x) =\frac{1}{x}\,x^{-2}+(\ln x)\,(-2)\,x^{-3} =x^{-3}\bigl(x-2x\ln x\bigr) =\frac{1-2\ln x}{x^{2}}.

Passo 3

Determinar os pontos críticos resolvendo
f'(x)=0 \quad\Longrightarrow\quad 1-2\ln x=0 \quad\Longrightarrow\quad \ln x=\tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad x=e^{1/2}=\sqrt{e}.
Esse valor está no domínio x>0, então é candidato a extremo.

Passo 4

Para classificar o ponto x=\sqrt{e}, calculamos a segunda derivada. Partindo de
f'(x)=x^{-2}-2(\ln x)\,x^{-2},
temos
f''(x) =\frac{d}{dx}\bigl[x^{-2}\bigr] -2\frac{d}{dx}\bigl[(\ln x)\,x^{-2}\bigr] =-2x^{-3} -2\Bigl(\frac{1}{x}\,x^{-2}+(\ln x)(-2)x^{-3}\Bigr) =x^{-3}\bigl(4\ln x-4\bigr).
Em x=\sqrt{e} vale \ln x=\tfrac12, logo
f''\bigl(\sqrt{e}\bigr) =(\sqrt{e})^{-3}\bigl(4\cdot\tfrac12-4\bigr) =e^{-3/2}(-2)<0,
ou seja, há um máximo local em x=\sqrt{e}.

Passo 5

Calcular o valor de f nesse ponto:
f\bigl(\sqrt{e}\bigr) =\frac{\ln(\sqrt{e})}{(\sqrt{e})^{2}} =\frac{\tfrac12}{e} =\frac{1}{2e}.

Resposta

A função tem um máximo local em
x=\sqrt{e},
com valor
f\bigl(\sqrt{e}\bigr)=\frac{1}{2e}.
Não há mínimos locais no domínio x>0.

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