Determine os extremantes das funções abaixo:
f(x)=e^{-(x-a)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede os extremos (pontos críticos e sua classificação) da função
f(x)=e^{-(x-a)^{2}}.
Para isso vamos usar derivada primeira para achar pontos críticos e derivada segunda para classificá-los.

Passo 2

Calculamos a derivada f'(x) usando a regra da cadeia:
f'(x) =\frac{d}{dx}e^{-(x-a)^{2}} =e^{-(x-a)^{2}}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(-(x-a)^{2}\bigr) =e^{-(x-a)^{2}}\cdot\bigl(-2(x-a)\bigr) =-2(x-a)e^{-(x-a)^{2}}.

Passo 3

Para achar os pontos críticos, resolvemos
f'(x)=0 \quad\Longrightarrow\quad -2(x-a)e^{-(x-a)^{2}}=0.
Como e^{-(x-a)^{2}}>0 para todo x, segue que
x-a=0 \quad\Longrightarrow\quad x=a.

Passo 4

Agora classificamos esse ponto pelo sinal de f''(x). Primeiro derivamos f'(x):
f''(x) =\frac{d}{dx}\bigl[-2(x-a)e^{-(x-a)^{2}}\bigr] =-2e^{-(x-a)^{2}}+4(x-a)^{2}e^{-(x-a)^{2}} =e^{-(x-a)^{2}}\bigl(-2+4(x-a)^{2}\bigr).
Em x=a temos x-a=0, logo
f''(a)=e^{0}\bigl(-2+0\bigr)=-2<0,
o que indica que x=a é ponto de máximo local.

Passo 5

Como
\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim_{x\to\pm\infty}e^{-(x-a)^{2}}=0
e f(a)=1, esse máximo local em x=a é também o máximo global. Não há mínimos, pois a função nunca atinge valor menor que 0 e não possui outros pontos críticos.

Resposta

O único ponto crítico é x=a, que é máximo local e global. Não há mínimo.

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