) Prove que no intervalo ] 0, \frac{\pi}{2}[, a função f(x)= \frac{\operatorname{sen} x}{x} é decrescente.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(x)=\frac{\sin x}{x}
é decrescente no intervalo (0,\tfrac{\pi}{2}).
Conteúdo: teste de monotonicidade usando derivada. Vamos calcular f'(x) e mostrar que ela é negativa nesse intervalo.

Passo 2

Usando a regra do quociente, para x>0 obtemos
f'(x) = \frac{x\cdot(\sin x)' - \sin x\cdot(x)'}{x^2} = \frac{x\cos x - \sin x}{x^2}.

Passo 3

Como x^2>0 em (0,\tfrac{\pi}{2}), o sinal de f'(x) é o mesmo do numerador
N(x)=x\cos x - \sin x.
Para f ser decrescente basta mostrar que N(x)<0 em (0,\tfrac{\pi}{2}).

Passo 4

Reescrevendo N(x)<0:
x\cos x - \sin x < 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \sin x > x\cos x \quad\Longleftrightarrow\quad \tan x > x.

Passo 5

Defina g(x)=\tan x - x. Então
g'(x)=\operatorname{sec}^2 x - 1 = \tan^2 x > 0
para todo x\in(0,\tfrac{\pi}{2}). Assim g é estritamente crescente e g(0)=0. Logo, para x>0 segue g(x)>0, ou seja
\tan x - x>0 \quad\Longrightarrow\quad \tan x > x.

Passo 6

Como \tan x > x em (0,\tfrac{\pi}{2}), voltamos a N(x)<0 e então f'(x)<0. Portanto f é decrescente nesse intervalo.

Resposta

A função \displaystyle f(x)=\frac{\sin x}{x} é decrescente em \bigl(0,\tfrac{\pi}{2}\bigr).

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