Nos problemas 1 a 7 apresenta-se um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verificar quais deles são espaços vetoriais. Para aqueles que não são espaços vetoriais, citar os axiomas que não se verificam.
A=[ll 0 & a b & 0 ] in M(2,2) / a, b in R com as operações usuais çõ

Passo 1

O enunciado define o conjunto
A = 0 & a b & 0mid a,binR
com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar em M(2,2). Queremos verificar se A é um espaço vetorial, isto é, um subespaço de M(2,2). Para isso, basta mostrar que A é não vazio e que é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar (os demais axiomas seguem de M(2,2)).

Passo 2

Verificamos que o elemento neutro da soma em M(2,2),
02times2=0 & 00 & 0,
está em A (basta tomar a=0 e b=0). Logo Aneqemptyset.

Passo 3

Fechamento sob soma. Tomemos
X=0 & a1 b1 & 0, Y=0 & a2 b2 & 0
em A. Então
X+Y =0 & a1+a2 b1+b2 & 0,
e como a1+a2inR e b1+b2inR, segue que X+Yin A.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação por escalar. Para lambdainR e
X=0 & a b & 0in A,
temos
lambda X =0 & lambda a lambda b & 0,
e como lambda a,lambda binR, segue que lambda Xin A. Em particular, para lambda=-1 obtemos o inverso aditivo de qualquer elemento de A.

Passo 5

Como A contém o zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar, concluímos que A é subespaço de M(2,2). Os demais axiomas (associatividade, comutatividade da soma, existência de inverso, identidade escalar etc.) herdam-se diretamente de M(2,2).

Resposta

A é um espaço vetorial (subespaço de M(2,2)).

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