Nos problemas 1 a 7 apresenta-se um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verificar quais deles são espaços vetoriais. Para aqueles que não são espaços vetoriais, citar os axiomas que não se verificam.
Passo 1
O enunciado define o conjunto
com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar em
. Queremos verificar se
é um espaço vetorial, isto é, um subespaço de
. Para isso, basta mostrar que
é não vazio e que é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar (os demais axiomas seguem de
).
Passo 2
Verificamos que o elemento neutro da soma em
,
está em
(basta tomar
e
). Logo
.
Passo 3
Fechamento sob soma. Tomemos
em
. Então
e como
e
, segue que
.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação por escalar. Para
e
temos
e como
, segue que
. Em particular, para
obtemos o inverso aditivo de qualquer elemento de
.
Passo 5
Como
contém o zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar, concluímos que
é subespaço de
. Os demais axiomas (associatividade, comutatividade da soma, existência de inverso, identidade escalar etc.) herdam-se diretamente de
.