Determine os extremos absolutos da função
definida na regiāo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os extremos absolutos (ou seja, o maior e o menor valor) da função
dentro da região definida por
Isso envolve entender um pouco de Cálculo Multivariável, especificamente sobre como encontrar máximos e mínimos de funções de duas variáveis em uma região limitada.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a região D. Ela é um círculo centrado na origem com raio 2, já que
.
Passo 3
Agora, vamos procurar os pontos críticos da função dentro dessa região. Para isso, precisamos encontrar onde as derivadas parciais de
são iguais a zero.
Calculando as derivadas:
Igualando a zero:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 4
Vamos avaliar a função nesse ponto crítico:
Esse é um candidato a extremo, mas precisamos verificar se é máximo ou mínimo, e também se existem outros extremos na borda da região D.
Passo 5
Agora, vamos analisar a borda do círculo, onde
. Para isso, podemos usar o método de parametrização ou substituição.
Vamos resolver para
em termos de
:
Substituímos isso na função
:
Agora, nossa função na borda é
, onde
está entre
e
.
Passo 6
Vamos encontrar os extremos dessa função univariada. Calculamos a derivada:
Igualando a zero:
Então, temos um ponto crítico na borda em
. Avaliando
nesse ponto:
Agora, também avaliamos nos extremos do intervalo
:
Resposta
Os extremos absolutos da função são:
- Máximo absoluto:
nos pontos e . - Mínimo absoluto:
no ponto .