Determine os extremos absolutos da função
f(x, y)=2 x^2-y^2+1
definida na regiāo
D=(x, y) ; x^2+y^2 <= 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os extremos absolutos (ou seja, o maior e o menor valor) da função
f(x, y) = 2x^2 - y^2 + 1
dentro da região definida por
D = (x, y) ; x^2 + y^2 <= 4
Isso envolve entender um pouco de Cálculo Multivariável, especificamente sobre como encontrar máximos e mínimos de funções de duas variáveis em uma região limitada.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a região D. Ela é um círculo centrado na origem com raio 2, já que x^2 + y^2 <= 4.

Passo 3

Agora, vamos procurar os pontos críticos da função dentro dessa região. Para isso, precisamos encontrar onde as derivadas parciais de f(x, y) são iguais a zero.
Calculando as derivadas:
fx = partial fpartial x = 4x
fy = partial fpartial y = -2y
Igualando a zero:
4x = 0 Rightarrow x = 0
-2y = 0 Rightarrow y = 0
Então, temos um ponto crítico em (0, 0).

Passo 4

Vamos avaliar a função nesse ponto crítico:
f(0, 0) = 2(0)^2 - (0)^2 + 1 = 1
Esse é um candidato a extremo, mas precisamos verificar se é máximo ou mínimo, e também se existem outros extremos na borda da região D.

Passo 5

Agora, vamos analisar a borda do círculo, onde x^2 + y^2 = 4. Para isso, podemos usar o método de parametrização ou substituição.
Vamos resolver para y em termos de x:
y = pm raiz4 - x^2
Substituímos isso na função f(x, y):
f(x, y) = 2x^2 - (raiz4 - x^2)^2 + 1 = 2x^2 - (4 - x^2) + 1 = 3x^2 - 3
Agora, nossa função na borda é f(x) = 3x^2 - 3, onde x está entre -2 e 2.

Passo 6

Vamos encontrar os extremos dessa função univariada. Calculamos a derivada:
f'(x) = 6x
Igualando a zero:
6x = 0 Rightarrow x = 0
Então, temos um ponto crítico na borda em x = 0. Avaliando f nesse ponto:
f(0) = 3(0)^2 - 3 = -3
Agora, também avaliamos nos extremos do intervalo x = pm 2:
f(2) = 3(2)^2 - 3 = 12 - 3 = 9
f(-2) = 3(-2)^2 - 3 = 12 - 3 = 9

Resposta

Os extremos absolutos da função são:
  • Máximo absoluto: 9 nos pontos (2, 0) e (-2, 0).
  • Mínimo absoluto: -3 no ponto (0, 0).

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