Determine os extremos globais das funções no intervalo dado:
f(x)=x \mathrm{e}^{-x}, \quad[-1,1].

Passo 1

O enunciado pede para achar os extremos globais da função
f(x)=x\,e^{-x}
no intervalo [-1,1].
O conteúdo que vamos usar é noção de derivados para encontrar pontos críticos (teorema de Fermat) e comparação de valores em pontos críticos e nas extremidades do intervalo.

Passo 2

Calculamos a derivada f'(x) usando a regra do produto e a cadeia:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x\bigr)\,e^{-x}+x\,\frac{d}{dx}\bigl(e^{-x}\bigr) =1\cdot e^{-x}+x\cdot\bigl(-e^{-x}\bigr) =e^{-x}(1-x).

Passo 3

Procuramos os pontos em que f'(x)=0. Da expressão
e^{-x}(1-x)=0
vemos que e^{-x}>0 para todo x, então a única solução é
1-x=0 \quad\Longrightarrow\quad x=1.
Note que x=1 é uma extremidade do nosso domínio, não um ponto interior.

Passo 4

Como f'(x)=e^{-x}(1-x)>0 para todo x<1, a função é estritamente crescente em [-1,1]. Portanto:
  • O valor mínimo ocorre em x=-1.
  • O valor máximo ocorre em x=1.

Passo 5

Calculamos os valores de f nas extremidades:
f(-1)=(-1)\,e^{-(-1)}=-e^{1}=-e, \qquad f(1)=1\cdot e^{-1}=\tfrac{1}{e}.

Resposta

O extremo global mínimo é
\min_{[-1,1]}f = f(-1)=-e,
e o extremo global máximo é
\max_{[-1,1]}f = f(1)=\tfrac{1}{e}.

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