Encontre os valores máximo(s) e mínimo(s) da função
no disco
(mostrar seus cálculos completos):
Passo 1
O enunciado pede os extremos globais de
no disco
Como
é contínua em
(compacto), basta achar os pontos críticos no interior (
) e analisar a fronteira
.
Passo 2
Calculamos o gradiente de
:
No interior de
, fazemos
, isto é
Então
é o único crítico interior e
Passo 3
Na fronteira temos
. Para parametrizar, use
Substituindo em
obtemos
Passo 4
Escrevendo
em termos de
:
Logo
Passo 5
Como
, segue:
O máximo ocorre quando
, isto é
. O mínimo ocorre quando
, isto é
.
Passo 6
As coordenadas na fronteira são:
- Para
:
e . - Para
:
e .
Passo 7
Comparando com o valor interior
, concluímos que:
- O máximo global de
em é , alcançado em . - O mínimo global de
em é , alcançado em .
Resposta
Máximo:
em
e
.
Mínimo: em
e
.
Mínimo: