Encontre os valores máximo(s) e mínimo(s) da função f(x, y)=4 x^2-8 y^2 no disco D=(x, y) mid x^2+y^2 <= 3 (mostrar seus cálculos completos):

Passo 1

O enunciado pede os extremos globais de
f(x,y)=4x^2-8y^2
no disco
D=(x,y)mid x^2+y^2<=3
Como f é contínua em D (compacto), basta achar os pontos críticos no interior ( nabla f=0) e analisar a fronteira x^2+y^2=3.

Passo 2

Calculamos o gradiente de f:
nabla f=(partial f/partial x,;partial f/partial y)=(8x,,-16y)
No interior de D, fazemos nabla f=0, isto é
8x=0, -16y=0Longrightarrow x=0,;y=0
Então (0,0) é o único crítico interior e
f(0,0)=0

Passo 3

Na fronteira temos x^2+y^2=3. Para parametrizar, use
x=raiz3cos t, y=raiz3sin t, tin[0,2pi]
Substituindo em f obtemos
f(t)=4(raiz3cos t)^2-8(raiz3sin t)^2 =12(cos^2t-2sin^2t)

Passo 4

Escrevendo cos^2t-2sin^2t em termos de cos2t:
cos^2t-2sin^2t =1+cos2t2-2cdot1-cos2t2 =-1+3cos2t2
Logo
f(t)=12cdot-1+3cos2t2=-6+18cos2t

Passo 5

Como cos2tin[-1,1], segue:
fmax=-6+18cdot1=12, fmin=-6+18cdot(-1)=-24
O máximo ocorre quando cos2t=1, isto é 2t=2kpiRightarrow t=kpi. O mínimo ocorre quando cos2t=-1, isto é 2t=(2k+1)piRightarrow t=tfracpi2+kpi.

Passo 6

As coordenadas na fronteira são:
  • Para t=0,pi:
    (x,y)=(pmraiz3,0) e f=12.
  • Para t=tfracpi2,,tfrac3pi2:
    (x,y)=(0,pmraiz3) e f=-24.

Passo 7

Comparando com o valor interior f(0,0)=0, concluímos que:
  • O máximo global de f em D é 12, alcançado em (pmraiz3,0).
  • O mínimo global de f em D é -24, alcançado em (0,pmraiz3).

Resposta

Máximo: fmax=12 em (raiz3,0) e (-raiz3,0).
Mínimo: fmin=-24 em (0,raiz3) e (0,-raiz3).

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