Determine os extremos relativos pela primeira derivada (condições suficientes para extremos relativos).
Passo 1
O enunciado pede os extremos relativos da função
usando o teste da primeira derivada (analisando o sinal de
). Vamos derivar, encontrar os pontos críticos (onde
ou
não existe) e estudar o sinal de
em cada intervalo.
Passo 2
Calculamos a derivada usando potência:
a derivada de é
e a de é
.
Logo,
a derivada de
e a de
Logo,
Passo 3
Os pontos críticos vêm de
e de
não existir em
(denominador nulo). Assim,
e
são candidatos.
Passo 4
Estudamos o sinal de
Como
para todo
e
, o sinal de
é o mesmo de
.
Para temos
.
Para e para
temos
.
Logo em o sinal de
muda de negativo para positivo, indicando mínimo relativo. Em
passa de positivo para positivo (não muda de sinal), então não há extremo em
.
Para
Para
Logo em
Resposta
A função possui um único extremo relativo, um mínimo em
Portanto, mínimo relativo em
e nenhum máximo relativo.