Determine os extremos relativos pela primeira derivada (condições suficientes para extremos relativos).
f(x)=x^43+4 x^13

Passo 1

O enunciado pede os extremos relativos da função
f(x)=x^43+4,x^13
usando o teste da primeira derivada (analisando o sinal de f'). Vamos derivar, encontrar os pontos críticos (onde f'=0 ou f' não existe) e estudar o sinal de f' em cada intervalo.

Passo 2

Calculamos a derivada usando potência:
a derivada de x^43 é tfrac43x^13
e a de 4x^13 é 4cdottfrac13x^-23=tfrac43x^-23.
Logo,
f'(x) =43,x^13 +43,x^-23 =43l(x^13+x^-23r) =43,x+1x^23

Passo 3

Os pontos críticos vêm de
f'(x)=0implies x+1=0implies x=-1,
e de f' não existir em x=0 (denominador nulo). Assim, x=-1 e x=0 são candidatos.

Passo 4

Estudamos o sinal de
f'(x)=43,x+1x^23
Como x^23>0 para todo xneq0 e tfrac43>0, o sinal de f' é o mesmo de x+1.
Para x<-1 temos x+1<0 ,Rightarrow f'<0.
Para -1<x<0 e para x>0 temos x+1>0 ,Rightarrow f'>0.
Logo em x=-1 o sinal de f' muda de negativo para positivo, indicando mínimo relativo. Em x=0 f' passa de positivo para positivo (não muda de sinal), então não há extremo em 0.

Resposta

A função possui um único extremo relativo, um mínimo em
x=-1, f(-1)=(-1)^43+4(-1)^13=1-4=-3
Portanto, mínimo relativo em l(-1,-3r) e nenhum máximo relativo.

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