Determine os extremos relativos pela primeira derivada (condições suficientes para extremos relativos).
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os extremos relativos de
usando o teste da primeira derivada. Lembrando que, pela condição suficiente, se a derivada muda de positiva para negativa num ponto crítico temos um máximo relativo, e se muda de negativa para positiva temos um mínimo relativo.
Passo 2
Vamos calcular
aplicando a regra do produto em
Usando
temos
Fatorando
, obtemos
Passo 3
Os pontos em que
são soluções de
isto é,
Estes são todos os pontos críticos em
.
Passo 4
Agora fazemos o estudo de sinal de
nos intervalos
,
,
e
.
.
e
em todos os intervalos, então só importam os sinais de
e
.
. Para
:
,
produto
.
. Para
:
,
.
. Para
:
,
.
. Para
:
,
.
Passo 5
Com o resultado do sinal de
, classificamos cada ponto crítico:
- Em
, vai de para , não há troca de sinal nenhum extremo. - Em
, vai de para máximo relativo. - Em
, vai de para mínimo relativo.
Passo 6
Finalmente, calculamos os valores de
nesses extremos:
Resposta
Máximo relativo em
.
Mínimo relativo em .
Mínimo relativo em