Determine os extremos relativos pela primeira derivada (condições suficientes para extremos relativos).
f(x)=10 x^3(x-1)^2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos relativos de f(x)=10,x^3(x-1)^2 usando o teste da primeira derivada. Lembrando que, pela condição suficiente, se a derivada muda de positiva para negativa num ponto crítico temos um máximo relativo, e se muda de negativa para positiva temos um mínimo relativo.

Passo 2

Vamos calcular ,f'(x) aplicando a regra do produto em
f(x)=10l(x^3r)l((x-1)^2r)
Usando
ddxl[x^3r]=3x^2, ddxl[(x-1)^2r]=2(x-1),
temos
f'(x) =10l(3x^2,(x-1)^2 + x^3cdot 2(x-1)r)
Fatorando 10,x^2,(x-1), obtemos
f'(x) =10,x^2,(x-1)l[3(x-1)+2xr] =10,x^2,(x-1)(5x-3)

Passo 3

Os pontos em que f'(x)=0 são soluções de
10,x^2,(x-1)(5x-3)=0,
isto é,
x=0, x=1, x=35
Estes são todos os pontos críticos em R.

Passo 4

Agora fazemos o estudo de sinal de f'(x)=10,x^2,(x-1)(5x-3) nos intervalos (-infty,0), (0,tfrac35), (tfrac35,1) e (1,infty).
1. 10>0 e x^2>0 em todos os intervalos, então só importam os sinais de (x-1) e (5x-3).
2. Para x<0: (x-1)<0, (5x-3)<0 Rightarrow produto (x-1)(5x-3)>0 Rightarrow f'>0.
3. Para 0<x<tfrac35: (x-1)<0, (5x-3)<0 Rightarrow (x-1)(5x-3)>0 Rightarrow f'>0.
4. Para tfrac35<x<1: (x-1)<0, (5x-3)>0 Rightarrow (x-1)(5x-3)<0 Rightarrow f'<0.
5. Para x>1: (x-1)>0, (5x-3)>0 Rightarrow (x-1)(5x-3)>0 Rightarrow f'>0.

Passo 5

Com o resultado do sinal de f', classificamos cada ponto crítico:
  • Em x=0, f' vai de + para +, não há troca de sinal Rightarrow nenhum extremo.
  • Em x=tfrac35, f' vai de + para - Rightarrow máximo relativo.
  • Em x=1, f' vai de - para + Rightarrow mínimo relativo.

Passo 6

Finalmente, calculamos os valores de f nesses extremos:
fl(tfrac35r) =10l(tfrac35r)^3l(tfrac35-1r)^2 =10cdot27125cdot425 =216625,
f(1)=10cdot1^3cdot0^2=0

Resposta

Máximo relativo em l(tfrac35,tfrac216625r).
Mínimo relativo em ,(1,0).

Exercícios relacionados