Determine o(s) ponto(s) crítico(s) e os intervalos de crescimento e decrescimento de cada função a seguir.
f(x)=x^2 raiz[3]x^2-4

Passo 1

O enunciado pede os pontos críticos de
f(x)=x^2raiz[3]x^2-4
e os intervalos em que f cresce ou decresce.
Para isso usaremos as regras de derivação (produto e cadeia) e o teste da primeira derivada.

Passo 2

Aplicando produto e cadeia, escrevemos f(x)=x^2,(x^2-4)^1/3. Logo
f'(x)=2x,(x^2-4)^1/3 + x^2cdot13(x^2-4)^-2/3cdot2x

Passo 3

Fatorando 2x,(x^2-4)^-2/3 em ambos os termos, obtemos
f'(x) =2x,(x^2-4)^-2/3l[(x^2-4)+tfrac13x^2r] =2x,(x^2-4)^-2/3cdot43(x^2-3)
Portanto
f'(x)=83;x,(x^2-3),(x^2-4)^-2/3
Os pontos críticos surgem de f'(x)=0 ou de f' não existir.
  • f'(x)=0 x=0 ou x^2-3=0, i.e.\ x=pmraiz3.
  • f' não existe quando x^2-4=0, i.e.\ x=pm2.

Passo 4

Como (x^2-4)^-2/3>0 para xneqpm2, o sinal de f' é o sinal de x,(x^2-3).
Definimos os intervalos usando os pontos -2,-raiz3,0,raiz3,2 e escolhemos um valor teste em cada intervalo:
,(-infty,-2): x<0 e x^2>3 Rightarrow f'<0\quad (decresce).
(-2,-raiz3): x<0 e x^2>3 Rightarrow f'<0\quad (decresce).
(-raiz3,0): x<0 e x^2<3 Rightarrow f'>0\quad (cresce).
(0,raiz3): x>0 e x^2<3 Rightarrow f'<0\quad (decresce).
(raiz3,2): x>0 e x^2>3 Rightarrow f'>0\quad (cresce).
(2,infty): x>0 e x^2>3 Rightarrow f'>0\quad (cresce).

Passo 5

Concluímos:
  • Pontos críticos: x=-2,,-raiz3,,0,,raiz3,,2.
  • f decresce em (- infty,-2), (-2,-raiz3) e (0,raiz3).
  • f cresce em (-raiz3,0), (raiz3,2) e (2,infty).

Resposta

Pontos críticos: -2,,-raiz3,,0,,raiz3,,2.
Intervalos de crescimento: (-raiz3,0), (raiz3,2), (2,infty).
Intervalos de decrescimento: (-infty,-2), (-2,-raiz3), (0,raiz3).

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