Determine o(s) ponto(s) crítico(s) e os intervalos de crescimento e decrescimento de cada função a seguir.
f(x)=x^23(8-x)

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função
f(x)=x^23,(8-x)
definida em R. Precisamos determinar os pontos críticos (onde f'(x)=0 ou f' é indefinida) e os intervalos de crescimento e decrescimento. Para isso vamos usar a derivada, regra do produto e análise de sinal de f'(x).

Passo 2

Seja
u(x)=x^23, v(x)=8-x
Então
u'(x)=23,x^-13, v'(x)=-1
Pela regra do produto,
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x) =23,x^-13,(8-x);-,x^23

Passo 3

Para simplificar, escrevemos tudo sobre o denominador comum 3x^tfrac13:
f'(x) =2(8-x)-3x3,x^13 =16-2x-3x3,x^13 =16-5x3,x^13

Passo 4

Pontos críticos são solução de f'(x)=0 ou onde f' é indefinida. Da expressão acima:
  • f'(x)=0 se 16-5x=0, ou seja x=165
  • f' é indefinida em x=0 (denominador zero).
    Logo, os pontos críticos são
x=0 e x=165

Passo 5

Analisamos o sinal de
f'(x)=16-5x3,x^13
nos intervalos determinados pelos críticos:
Para x<0, temos 16-5x>0 e x^13<0, logo f'(x)<0.
Para 0<x<165, temos 16-5x>0 e x^13>0, logo f'(x)>0.
Para x>165, temos 16-5x<0 e x^13>0, logo f'(x)<0.

Passo 6

Concluímos que
  • f é decrescente em (-infty,0),
  • f é crescente em l(0,tfrac165r),
  • f é decrescente em l(tfrac165,inftyr).

Resposta

Pontos críticos:
x=0 e x=165
Intervalos de crescimento:
l(0,tfrac165r)
Intervalos de decrescimento:
(-infty,0) e l(tfrac165,inftyr)

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