Determine os extremos relativos pela primeira derivada (condições suficientes para extremos relativos).
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os extremos relativos de
usando o teste da primeira derivada. Vamos precisar de (1) domínio de
, (2) sua derivada
, (3) pontos críticos resolvendo
e (4) análise do sinal de
em cada intervalo.
Passo 2
Primeiro identificamos o domínio de
. A função está definida para todo
, ou seja
Agora calculamos a derivada:
Passo 3
Achamos os pontos críticos resolvendo
:
Note que
não pertence ao domínio, então os únicos críticos são
e
.
Passo 4
Analisamos o sinal de
nos intervalos definidos pelos pontos críticos:
- Em
: temos e , logo . - Em
: temos e , logo . - Em
: também e , logo . - Em
: temos e , logo .
Passo 5
Pelo teste da primeira derivada:
- Em
a derivada muda de positiva para negativa, indicando um máximo relativo. - Em
a derivada muda de negativa para positiva, indicando um mínimo relativo.
Passo 6
Calculamos os valores de
nesses pontos:
Resposta
Máximo relativo em
.
Mínimo relativo em .
Mínimo relativo em