Determine os extremos relativos pela primeira derivada (condições suficientes para extremos relativos).
f(x)=x^3+3x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos relativos de
f(x)=x^3+3x
usando o teste da primeira derivada. Vamos precisar de (1) domínio de f, (2) sua derivada f', (3) pontos críticos resolvendo f'(x)=0 e (4) análise do sinal de f' em cada intervalo.

Passo 2

Primeiro identificamos o domínio de f. A função está definida para todo xneq0, ou seja
Dom(f)=(-infty,0)cup(0,infty)
Agora calculamos a derivada:
f'(x)=ddxl(x^3r)+ddxl(3x^-1r) =3x^2-3x^-2 =3l(x^2-x^-2r) =3,x^4-1x^2

Passo 3

Achamos os pontos críticos resolvendo f'(x)=0:
3,x^4-1x^2=0 Longrightarrow x^4-1=0 Longrightarrow x^4=1 Longrightarrow x=pm1
Note que x=0 não pertence ao domínio, então os únicos críticos são x=-1 e x=1.

Passo 4

Analisamos o sinal de f'(x)=3,(x^4-1)/x^2 nos intervalos definidos pelos pontos críticos:
  • Em (-infty,-1): temos x^4>1 e x^2>0, logo f'(x)>0.
  • Em (-1,0): temos x^4<1 e x^2>0, logo f'(x)<0.
  • Em (0,1): também x^4<1 e x^2>0, logo f'(x)<0.
  • Em (1,infty): temos x^4>1 e x^2>0, logo f'(x)>0.

Passo 5

Pelo teste da primeira derivada:
  • Em x=-1 a derivada muda de positiva para negativa, indicando um máximo relativo.
  • Em x=1 a derivada muda de negativa para positiva, indicando um mínimo relativo.

Passo 6

Calculamos os valores de f nesses pontos:
f(-1)=(-1)^3+3-1=-1-3=-4, f(1)=1^3+31=1+3=4

Resposta

Máximo relativo em l(-1,-4r).
Mínimo relativo em l(1,4r).

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