Determine os extremos relativos pela primeira derivada (condições suficientes para extremos relativos).
f(x)=raiz[3]x^3-9 x

Passo 1

O enunciado pede para determinar os extremos relativos de
f(x)=raiz[3]x^3-9x
usando o teste da primeira derivada. Vamos precisar calcular f'(x), identificar pontos críticos (onde f'=0 ou f' indefinida) e estudar o sinal de f' em torno deles.

Passo 2

Calcular a derivada de f. Seja u(x)=x^3-9x, então f(x)=u(x)^1/3. Usando a regra da cadeia,
f'(x)=13u(x)^-2/3,u'(x) =13(x^3-9x)^-2/3cdot(3x^2-9)
Logo,
f'(x)=x^2-3l(x^3-9xr)^2/3

Passo 3

Identificamos os pontos críticos:
1. f'(x)=0 quando o numerador se anula:
x^2-3=0Longrightarrow x=pmraiz3
2. f'(x) indefinida quando o denominador é zero:
x^3-9x=x(x^2-9)=0Longrightarrow xin-3,0,3

Passo 4

Estudar o sinal de f'(x). Note que l(x^3-9xr)^2/3>0 para todo xneq -3,0,3, então o sinal de f' vem do fator x^2-3:
  • Se lvert xrvert>raiz3, então x^2-3>0 e f'(x)>0.
  • Se lvert xrvert<raiz3, então x^2-3<0 e f'(x)<0.
Assim o sinal de f' é
+em;(-infty,-raiz3),; -em;(-raiz3,raiz3),; +em;(raiz3,infty)

Passo 5

Como f' muda de + para - em x=-raiz3, há um máximo relativo aí. Como f' muda de - para + em x=raiz3, há um mínimo relativo aí. Calculando os valores:
f(-raiz3)=raiz[3](-raiz3)^3-9(-raiz3) =raiz[3]-3raiz3+9raiz3 =raiz[3]6raiz3,
f(raiz3)=raiz[3](raiz3)^3-9(raiz3) =raiz[3]3raiz3-9raiz3 =raiz[3]-6raiz3 =-raiz[3]6raiz3

Resposta

Máximo local em x=-raiz3 com
f(-raiz3)=raiz[3]6raiz3
Mínimo local em x=raiz3 com
f(raiz3)=-raiz[3]6raiz3

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