Determine os extremos relativos pela primeira derivada (condições suficientes para extremos relativos).
Passo 1
O enunciado pede para determinar os extremos relativos de
usando o teste da primeira derivada. Vamos precisar calcular
, identificar pontos críticos (onde
ou
indefinida) e estudar o sinal de
em torno deles.
Passo 2
Calcular a derivada de
. Seja
, então
. Usando a regra da cadeia,
Logo,
Passo 3
Identificamos os pontos críticos:
.
quando o numerador se anula:
Passo 4
Estudar o sinal de
. Note que
para todo
, então o sinal de
vem do fator
:
- Se
, então e . - Se
, então e .
Assim o sinal de
é
Passo 5
Como
muda de
para
em
, há um máximo relativo aí. Como
muda de
para
em
, há um mínimo relativo aí. Calculando os valores:
Resposta
Máximo local em
com
Mínimo local em
com