Fazer um estudo das funções a seguir com relação à concavidade e ao(s) ponto(s) de inflexão.
Passo 1
O enunciado pede o estudo de concavidade e pontos de inflexão da função
Para isso precisamos calcular a segunda derivada
, usar o critério de concavidade (se
então a curva é côncava para cima, se
então é côncava para baixo) e encontrar os pontos onde
com troca de sinal (pontos de inflexão).
Passo 2
Calculamos a primeira e a segunda derivada de
.
A primeira derivada é
A primeira derivada é
A segunda derivada é
Passo 3
Encontramos onde
:
Esse é o único candidato a ponto de inflexão.
Passo 4
Testamos o sinal de
nos intervalos determinados por
:
Para temos
, então
é côncava para baixo.
Para temos
, então
é côncava para cima.
Como há troca de sinal em , de fato é ponto de inflexão.
Para
Para
Como há troca de sinal em
Passo 5
Calculamos a ordenada do ponto de inflexão em
:
Logo o ponto de inflexão é
.
Resposta
A curva é
– côncava para baixo em ,
– côncava para cima em ,
– côncava para baixo em
– côncava para cima em
e possui ponto de inflexão em
.