Fazer um estudo das funções a seguir com relação à concavidade e ao(s) ponto(s) de inflexão.
f(x)=x^3-2 x^2+x+1

Passo 1

O enunciado pede o estudo de concavidade e pontos de inflexão da função
f(x)=x^3-2x^2+x+1
Para isso precisamos calcular a segunda derivada f''(x), usar o critério de concavidade (se f''(x)>0 então a curva é côncava para cima, se f''(x)<0 então é côncava para baixo) e encontrar os pontos onde f''(x)=0 com troca de sinal (pontos de inflexão).

Passo 2

Calculamos a primeira e a segunda derivada de f.
A primeira derivada é
f'(x)=ddxl(x^3-2x^2+x+1r) =3x^2-4x+1
A segunda derivada é
f''(x)=ddxl(3x^2-4x+1r) =6x-4

Passo 3

Encontramos onde f''(x)=0:
6x-4=0 Longrightarrow x=46=23
Esse é o único candidato a ponto de inflexão.

Passo 4

Testamos o sinal de f''(x)=6x-4 nos intervalos determinados por x=tfrac23:
Para x<tfrac23 temos 6x-4<0, então f é côncava para baixo.
Para x>tfrac23 temos 6x-4>0, então f é côncava para cima.
Como há troca de sinal em x=tfrac23, de fato é ponto de inflexão.

Passo 5

Calculamos a ordenada do ponto de inflexão em x=tfrac23:
f!l(tfrac23r) =l(tfrac23r)^3 -2l(tfrac23r)^2 +tfrac23+1 =827-89+23+1 =2927
Logo o ponto de inflexão é l(tfrac23,tfrac2927r).

Resposta

A curva é
– côncava para baixo em ;(-infty,tfrac23),
– côncava para cima em ;(tfrac23,infty),
e possui ponto de inflexão em l(tfrac23,tfrac2927r).

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