Determine m para que:
(f) (m-1) x^2+4(m-1) x+m>0, forall x in R

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos todos os valores de m tais que
(m-1)x^2 + 4(m-1)x + m > 0
para todo x in R.
Isso é um polinômio de segundo grau em x. Para que ele seja estritamente positivo em toda reta, temos duas situações a considerar:
  1. Caso degenerado onde o coeficiente quadrático se anula ( m-1=0), reduzindo a expressão a uma constante ou a um polinômio de grau 1;
  2. Caso quadrático propriamente dito onde m-1neq0, em que usamos o critério “coeficiente quadrático positivo e discriminante negativo”.

Passo 2

Analisando o caso degenerado m-1=0, ou seja m=1:
Nesse caso o polinômio vira
0cdot x^2 + 0cdot x + m = m = 1,
que é a constante 1. Como 1>0 independe de x, essa escolha de m satisfaz a desigualdade para todo x.

Passo 3

Agora o caso quadrático: suponha mneq1. Então podemos escrever
a = m-1, b = 4(m-1), c = m,
e a expressão é uma quadrática a x^2 + b x + c. Para que ela seja >0 em toda reta, requeremos
a>0 e De<a < 0,
onde De<a = b^2 - 4ac.

Passo 4

Primeiro, a>0 implica
m-1 > 0 Longrightarrow m>1
Em seguida, calculamos o discriminante:
De<a = [4(m-1)]^2 - 4,(m-1),m = 16(m-1)^2 - 4m(m-1) =4(m-1)l(4(m-1)-mr) =4(m-1)(3m-4)
Queremos De<a<0. Como já estamos em m>1, temos m-1>0, então
4(m-1)(3m-4)<0 Long<=ftrightarrow 3m-4<0 Long<=ftrightarrow m<tfrac43

Passo 5

Combinando as duas condições do caso quadrático, obtemos
1 < m < tfrac43
Além disso, já vimos que m=1 também funciona no caso degenerado. Por outro lado, m=tfrac43 daria De<a=0 e fatiaria a positividade, gerando um zero duplo; e para m<1 o coeficiente a seria negativo, tornando a parábola voltada para baixo.

Resposta

m in l[1,tfrac43r)

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