Determine
para que:
(f)
(f)
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos todos os valores de
tais que
para todo
.
Isso é um polinômio de segundo grau em . Para que ele seja estritamente positivo em toda reta, temos duas situações a considerar:
Isso é um polinômio de segundo grau em
- Caso degenerado onde o coeficiente quadrático se anula (
), reduzindo a expressão a uma constante ou a um polinômio de grau 1; - Caso quadrático propriamente dito onde
, em que usamos o critério “coeficiente quadrático positivo e discriminante negativo”.
Passo 2
Analisando o caso degenerado
, ou seja
:
Nesse caso o polinômio vira
Nesse caso o polinômio vira
que é a constante
. Como
independe de
, essa escolha de
satisfaz a desigualdade para todo
.
Passo 3
Agora o caso quadrático: suponha
. Então podemos escrever
e a expressão é uma quadrática
. Para que ela seja
em toda reta, requeremos
onde
.
Passo 4
Primeiro,
implica
Em seguida, calculamos o discriminante:
Queremos
. Como já estamos em
, temos
, então
Passo 5
Combinando as duas condições do caso quadrático, obtemos
Além disso, já vimos que
também funciona no caso degenerado. Por outro lado,
daria
e fatiaria a positividade, gerando um zero duplo; e para
o coeficiente
seria negativo, tornando a parábola voltada para baixo.