Encontre o problema de valor inicial para cada uma das quatro equações diferenciais abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver três equações diferenciais com condições iniciais. O conteúdo que vamos usar aqui é de Equações Lineares de Primeira Ordem. Para resolver, vamos precisar entender como achar fatores integrantes e aplicar a técnica de resolução passo a passo. Vamos lá!
Passo 2
Primeira Equação:
Primeiro, vamos identificar a equação na forma padrão:
Aqui, $ P(t) = -1 $ e $ Q(t) = 2t e^{2t} $.
Agora, vamos calcular o fator integrante:
Multiplicamos toda a equação por $ \mu(t) $:
Agora, o lado esquerdo é a derivada do produto $ \mu(t) y $:
Integramos ambos os lados:
Para integrar $ 2t e^{t} $, usamos a integração por partes. Vamos deixar isso por aqui e resolver na próxima etapa.
Passo 3
Vamos continuar integrando $ \int 2t e^{t} dt $.
Escolhemos $ u = 2t $ e $ dv = e^{t} dt $.
Então, $ du = 2 dt $ e $ v = e^{t} $.
Aplicando a fórmula da integração por partes $ \int u dv = uv - \int v du $:
Voltando à nossa equação:
Multiplicamos ambos os lados por $ e^{t} $ para resolver para $ y $:
Agora, aplicamos a condição inicial $ y(0) = 1 $:
Portanto, a solução é:
Passo 4
Segunda Equação:
Vamos novamente colocar na forma padrão:
Aqui, $ P(t) = 1 $ e $ Q(t) = t e^{-2t} $.
Calculamos o fator integrante:
Multiplicamos toda a equação por $ \mu(t) $:
O lado esquerdo é a derivada do produto $ \mu(t) y $:
Integramos ambos os lados:
Vamos resolver $ \int t e^{-t} dt $ usando integração por partes.
Passo 5
Para integrar $ \int t e^{-t} dt $, escolhemos $ u = t $ e $ dv = e^{-t} dt $.
Então, $ du = dt $ e $ v = -e^{-t} $.
Aplicando a fórmula:
Voltando à equação:
Aplicamos a condição inicial $ y(1) = 0 $:
Portanto, a solução é:
Passo 6
Terceira Equação:
Colocamos na forma padrão:
Aqui, $ P(t) = -2 $ e $ Q(t) = e^{2t} $.
Calculamos o fator integrante:
Multiplicamos toda a equação por $ \mu(t) $:
O lado esquerdo é a derivada do produto $ \mu(t) y $:
Integramos ambos os lados:
Resolvendo para $ y $:
Aplicamos a condição inicial $ y(0) = 2 $:
Portanto, a solução é:
Resposta
As soluções das equações diferenciais com as respectivas condições iniciais são: