Encontre o problema de valor inicial para cada uma das quatro equações diferenciais abaixo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver três equações diferenciais com condições iniciais. O conteúdo que vamos usar aqui é de Equações Lineares de Primeira Ordem. Para resolver, vamos precisar entender como achar fatores integrantes e aplicar a técnica de resolução passo a passo. Vamos lá!

Passo 2

Primeira Equação:
y' - y = 2t e^2t, y(0) = 1
Primeiro, vamos identificar a equação na forma padrão:
y' + P(t)y = Q(t)
Aqui, $ P(t) = -1 $ e $ Q(t) = 2t e^{2t} $.
Agora, vamos calcular o fator integrante:
P(t) = -1
Multiplicamos toda a equação por $ \mu(t) $:
Q(t) = 2t e^2t
mu(t) = e^integral P(t) dt = e^integral -1 dt = e^-t
Agora, o lado esquerdo é a derivada do produto $ \mu(t) y $:
mu(t)
Integramos ambos os lados:
e^-t y' - e^-t y = 2t e^2t e^-t
Para integrar $ 2t e^{t} $, usamos a integração por partes. Vamos deixar isso por aqui e resolver na próxima etapa.

Passo 3

Vamos continuar integrando $ \int 2t e^{t} dt $.
Escolhemos $ u = 2t $ e $ dv = e^{t} dt $.
Então, $ du = 2 dt $ e $ v = e^{t} $.
Aplicando a fórmula da integração por partes $ \int u dv = uv - \int v du $:
integral 2t e^t dt
u = 2t
Voltando à nossa equação:
dv = e^t dt
Multiplicamos ambos os lados por $ e^{t} $ para resolver para $ y $:
du = 2 dt
v = e^t
Agora, aplicamos a condição inicial $ y(0) = 1 $:
integral u dv = uv - integral v du
integral 2t e^t dt = 2t e^t - integral 2 e^t dt
= 2t e^t - 2 e^t + C
Portanto, a solução é:
e^-t y = 2t e^t - 2 e^t + C

Passo 4

Segunda Equação:
y' + y = t e^-2t, y(1) = 0
Vamos novamente colocar na forma padrão:
y' + P(t)y = Q(t)
Aqui, $ P(t) = 1 $ e $ Q(t) = t e^{-2t} $.
Calculamos o fator integrante:
P(t) = 1
Multiplicamos toda a equação por $ \mu(t) $:
Q(t) = t e^-2t
mu(t) = e^integral P(t) dt = e^integral 1 dt = e^t
O lado esquerdo é a derivada do produto $ \mu(t) y $:
mu(t)
Integramos ambos os lados:
e^t y' + e^t y = t e^-2t e^t
Vamos resolver $ \int t e^{-t} dt $ usando integração por partes.

Passo 5

Para integrar $ \int t e^{-t} dt $, escolhemos $ u = t $ e $ dv = e^{-t} dt $.
Então, $ du = dt $ e $ v = -e^{-t} $.
Aplicando a fórmula:
integral t e^-t dt
u = t
Voltando à equação:
dv = e^-t dt
du = dt
v = -e^-t
Aplicamos a condição inicial $ y(1) = 0 $:
integral t e^-t dt = -t e^-t + integral e^-t dt
= -t e^-t - e^-t + C
e^t y = -t e^-t - e^-t + C
y = (-t e^-t - e^-t + C) e^-t
y = -t e^-2t - e^-2t + C e^-t
Portanto, a solução é:
y(1) = 0
0 = -1 e^-2(1) - e^-2(1) + C e^-1

Passo 6

Terceira Equação:
y' - 2y = e^2t, y(0) = 2
Colocamos na forma padrão:
y' + P(t)y = Q(t)
Aqui, $ P(t) = -2 $ e $ Q(t) = e^{2t} $.
Calculamos o fator integrante:
P(t) = -2
Multiplicamos toda a equação por $ \mu(t) $:
Q(t) = e^2t
mu(t) = e^integral P(t) dt = e^integral -2 dt = e^-2t
O lado esquerdo é a derivada do produto $ \mu(t) y $:
mu(t)
Integramos ambos os lados:
e^-2t y' - 2 e^-2t y = e^2t e^-2t
e^-2t y' - 2 e^-2t y = 1
Resolvendo para $ y $:
mu(t) y
Aplicamos a condição inicial $ y(0) = 2 $:
ddt(e^-2t y) = 1
e^-2t y = integral 1 dt
Portanto, a solução é:
e^-2t y = t + C

Resposta

As soluções das equações diferenciais com as respectivas condições iniciais são:
  1. y = 2t e^2t - 2 e^2t + 3 e^t
  2. y = -(t + 1) e^-2t + 2 e^-t -1
  3. y = (t + 2) e^2t

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