Use o fator integrante para resolver as quatro equações diferenciais abaixo e analise o comportamento das soluções para t infty.
y^prime+3 y=t+e^-2 t y^prime+y=t e^-t+1 y^prime-2 y=3 e^t t y^prime+2 y=sen t t>0

Passo 1

Beleza, vamos resolver quatro equações diferenciais usando fator integrante. O conteúdo que vamos precisar aqui é o de equações diferenciais lineares de primeira ordem. O fator integrante é uma técnica que nos ajuda a encontrar a solução dessas equações. Vamos precisar identificar os coeficientes das equações e aplicar a fórmula do fator integrante para cada caso. Bora lá!

Passo 2

Primeira Equação: $ y’ + 3 y = t + e^{-2 t} $
Primeiro, vamos identificar os coeficientes:
  • $ P(t) = 3 $
  • $ Q(t) = t + e^{-2 t} $
O fator integrante $ \mu(t) $ é dado por:
y' + 3 y = t + e^-2 t
Agora, multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
P(t) = 3
Isso simplifica para:
Q(t) = t + e^-2 t
Agora, integramos ambos os lados em relação a $ t $:
mu(t)
A integral $ \int e^{3 t} t , dt $ pode ser resolvida por partes:
mu(t) = e^integral P(t) , dt = e^integral 3 , dt = e^3 t
E a integral $ \int e^{t} , dt = e^{t} + C $.
Então, temos:
e^3 t y' + 3 e^3 t y = e^3 t t + e^3 t e^-2 t
Dividindo por $ e^{3 t} $:
ddt ( e^3 t y ) = e^3 t t + e^t

Passo 3

Segunda Equação: $ y’ + y = t e^{-t} + 1 $
Identificando os coeficientes:
  • $ P(t) = 1 $
  • $ Q(t) = t e^{-t} + 1 $
O fator integrante $ \mu(t) $ é:
y' + y = t e^-t + 1
Multiplicamos a equação por $ e^{t} $:
P(t) = 1
Simplificando:
Q(t) = t e^-t + 1
Agora, integramos ambos os lados:
mu(t)
Calculando as integrais:
mu(t) = e^integral 1 , dt = e^t
Então:
e^t
Dividindo por $ e^{t} $:
e^t y' + e^t y = e^t t e^-t + e^t cdot 1

Passo 4

Terceira Equação: $ y’ - 2 y = 3 e^{t} $
Identificando os coeficientes:
  • $ P(t) = -2 $
  • $ Q(t) = 3 e^{t} $
O fator integrante $ \mu(t) $ é:
y' - 2 y = 3 e^t
Multiplicamos a equação por $ e^{-2 t} $:
P(t) = -2
Simplificando:
Q(t) = 3 e^t
Integrando ambos os lados:
mu(t)
Calculando a integral:
mu(t) = e^integral -2 , dt = e^-2 t
Então:
e^-2 t
Multiplicando por $ e^{2 t} $:
e^-2 t y' - 2 e^-2 t y = 3 e^-2 t e^t

Passo 5

Quarta Equação: $ t y’ + 2 y = \sin t $, $ t > 0 $
Primeiro, vamos rearranjar a equação:
t y' + 2 y = sin t
Identificando os coeficientes:
  • $ P(t) = \frac{2}{t} $
  • $ Q(t) = \frac{\sin t}{t} $
O fator integrante $ \mu(t) $ é:
t > 0
Multiplicamos a equação por $ t^{2} $:
y' + 2t y = sin tt
Isso pode ser escrito como:
P(t) = 2t
Agora, integramos ambos os lados:
Q(t) = sin tt
Usando integração por partes para $ \int t \sin t , dt $:
Seja $ u = t $ e $ dv = \sin t , dt $, então $ du = dt $ e $ v = -\cos t $.
mu(t)
Então:
mu(t) = e^integral 2t , dt = e^2 ln t = t^2
Dividindo por $ t^{2} $:
t^2

Resposta

As soluções das equações diferenciais são:
  1. $ y = \frac{t}{3} - \frac{1}{9} + e^{-2 t} + C e^{-3 t} $
  2. $ y = \frac{t^2}{2} e^{-t} + 1 + C e^{-t} $
  3. $ y = -3 e^{t} + C e^{2 t} $
  4. $ y = -\frac{\cos t}{t} + \frac{\sin t}{t^{2}} + \frac{C}{t^{2}} $
Analisando o comportamento para $ t \rightarrow \infty $:
  1. $ y \rightarrow \frac{t}{3} - \frac{1}{9} $ (os termos com $ e^{-2 t} $ e $ e^{-3 t} $ tendem a zero)
  2. $ y \rightarrow \frac{t^2}{2} e^{-t} + 1 $ (o termo $ \frac{t^2}{2} e^{-t} $ tende a zero, restando 1)
  3. $ y \rightarrow -3 e^{t} $ (o termo $ C e^{2 t} $ cresce mais rápido, mas depende de $ C $)
  4. $ y \rightarrow 0 $ (todos os termos tendem a zero conforme $ t $ cresce)

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