Use o fator integrante para resolver as quatro equações diferenciais abaixo e analise o comportamento das soluções para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver quatro equações diferenciais usando fator integrante. O conteúdo que vamos precisar aqui é o de equações diferenciais lineares de primeira ordem. O fator integrante é uma técnica que nos ajuda a encontrar a solução dessas equações. Vamos precisar identificar os coeficientes das equações e aplicar a fórmula do fator integrante para cada caso. Bora lá!
Passo 2
Primeira Equação: $ y’ + 3 y = t + e^{-2 t} $
Primeiro, vamos identificar os coeficientes:
- $ P(t) = 3 $
- $ Q(t) = t + e^{-2 t} $
O fator integrante $ \mu(t) $ é dado por:
Agora, multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Agora, integramos ambos os lados em relação a $ t $:
A integral $ \int e^{3 t} t , dt $ pode ser resolvida por partes:
E a integral $ \int e^{t} , dt = e^{t} + C $.
Então, temos:
Dividindo por $ e^{3 t} $:
Passo 3
Segunda Equação: $ y’ + y = t e^{-t} + 1 $
Identificando os coeficientes:
- $ P(t) = 1 $
- $ Q(t) = t e^{-t} + 1 $
O fator integrante $ \mu(t) $ é:
Multiplicamos a equação por $ e^{t} $:
Simplificando:
Agora, integramos ambos os lados:
Calculando as integrais:
Então:
Dividindo por $ e^{t} $:
Passo 4
Terceira Equação: $ y’ - 2 y = 3 e^{t} $
Identificando os coeficientes:
- $ P(t) = -2 $
- $ Q(t) = 3 e^{t} $
O fator integrante $ \mu(t) $ é:
Multiplicamos a equação por $ e^{-2 t} $:
Simplificando:
Integrando ambos os lados:
Calculando a integral:
Então:
Multiplicando por $ e^{2 t} $:
Passo 5
Quarta Equação: $ t y’ + 2 y = \sin t $, $ t > 0 $
Primeiro, vamos rearranjar a equação:
Identificando os coeficientes:
- $ P(t) = \frac{2}{t} $
- $ Q(t) = \frac{\sin t}{t} $
O fator integrante $ \mu(t) $ é:
Multiplicamos a equação por $ t^{2} $:
Isso pode ser escrito como:
Agora, integramos ambos os lados:
Usando integração por partes para $ \int t \sin t , dt $:
Seja $ u = t $ e $ dv = \sin t , dt $, então $ du = dt $ e $ v = -\cos t $.
Então:
Dividindo por $ t^{2} $:
Resposta
As soluções das equações diferenciais são:
- $ y = \frac{t}{3} - \frac{1}{9} + e^{-2 t} + C e^{-3 t} $
- $ y = \frac{t^2}{2} e^{-t} + 1 + C e^{-t} $
- $ y = -3 e^{t} + C e^{2 t} $
- $ y = -\frac{\cos t}{t} + \frac{\sin t}{t^{2}} + \frac{C}{t^{2}} $
Analisando o comportamento para $ t \rightarrow \infty $:
- $ y \rightarrow \frac{t}{3} - \frac{1}{9} $ (os termos com $ e^{-2 t} $ e $ e^{-3 t} $ tendem a zero)
- $ y \rightarrow \frac{t^2}{2} e^{-t} + 1 $ (o termo $ \frac{t^2}{2} e^{-t} $ tende a zero, restando 1)
- $ y \rightarrow -3 e^{t} $ (o termo $ C e^{2 t} $ cresce mais rápido, mas depende de $ C $)
- $ y \rightarrow 0 $ (todos os termos tendem a zero conforme $ t $ cresce)