Determine
:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada de ordem
, ou seja,
.
Informações relevantes: a função é um monômio com expoente . O que se pede é a derivada repetida
vezes.
Informações relevantes: a função é um monômio com expoente
Passo 2
Vamos recordar a regra básica de derivação para potências (regra do poder). Para todo número natural
,
Explicando: ao derivar
, você multiplica por
e diminui o expoente em
. Aqui
é a variável e
é o expoente (um número inteiro não negativo). Exemplo concreto:
.
Passo 3
Agora vejamos o que acontece quando derivamos várias vezes (derivada de ordem superior). Faço um exemplo pequeno para ver o padrão:
Note que os coeficientes formam um produto decrescente
, depois
, depois
. Esse produto é justamente o fatorial.
Passo 4
Generalizando o padrão: para
e
tal que
, a derivada
-ésima de
é
Explicando a fórmula:
(lê-se “n fatorial”) é o produto
. O quociente
corresponde ao produto decrescente de
fatores
. A potência
aparece porque cada derivada reduz o expoente em
. Observação importante: quando
temos
e
, então o resultado é
. Se
, a derivada é
(porque depois de tirar todas as potências sobra uma constante e derivadas adicionais de constantes são zero).
Passo 5
Aplicando a fórmula ao caso
e
:
Aqui usei que
e que
. Ou seja, a derivada de ordem
é uma constante igual a
. Também é útil notar que qualquer derivada de ordem maior que
será
.