Determine f^{(2023)}(x) :
x^{2023}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{2023} e pede a derivada de ordem 2023, ou seja, f^{(2023)}(x).
Informações relevantes: a função é um monômio com expoente 2023. O que se pede é a derivada repetida 2023 vezes.

Passo 2

Vamos recordar a regra básica de derivação para potências (regra do poder). Para todo número natural n,
\frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}.
Explicando: ao derivar x^n, você multiplica por n e diminui o expoente em 1. Aqui x é a variável e n é o expoente (um número inteiro não negativo). Exemplo concreto: \frac{d}{dx}x^{3}=3x^{2}.

Passo 3

Agora vejamos o que acontece quando derivamos várias vezes (derivada de ordem superior). Faço um exemplo pequeno para ver o padrão:
\begin{aligned} \frac{d}{dx}x^{3} &= 3x^{2},\\\ \frac{d^{2}}{dx^{2}}x^{3} &= \frac{d}{dx}(3x^{2}) = 3\cdot 2 x^{1}=6x,\\\ \frac{d^{3}}{dx^{3}}x^{3} &= \frac{d}{dx}(6x)=6. \end{aligned}
Note que os coeficientes formam um produto decrescente 3, depois 3\cdot2, depois 3\cdot2\cdot1. Esse produto é justamente o fatorial.

Passo 4

Generalizando o padrão: para n\in\mathbb{N} e k tal que 0\le k\le n, a derivada k-ésima de x^{n} é
\frac{d^{k}}{dx^{k}} x^{n} = \frac{n!}{(n-k)!}\, x^{\,n-k}.
Explicando a fórmula: n! (lê-se “n fatorial”) é o produto n\cdot(n-1)\cdot\cdots\cdot1. O quociente \dfrac{n!}{(n-k)!} corresponde ao produto decrescente de k fatores n(n-1)\cdots(n-k+1). A potência x^{\,n-k} aparece porque cada derivada reduz o expoente em 1. Observação importante: quando k=n temos x^{0}=1 e (n-n)!=0!=1, então o resultado é n!. Se k>n, a derivada é 0 (porque depois de tirar todas as potências sobra uma constante e derivadas adicionais de constantes são zero).

Passo 5

Aplicando a fórmula ao caso n=2023 e k=2023:
f^{(2023)}(x)=\frac{2023!}{(2023-2023)!}\, x^{2023-2023}=\frac{2023!}{0!}\, x^{0}=2023!.
Aqui usei que 0!=1 e que x^{0}=1. Ou seja, a derivada de ordem 2023 é uma constante igual a 2023!. Também é útil notar que qualquer derivada de ordem maior que 2023 será 0.

Resposta

2023!

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