Determine
:
Passo 1
O enunciado pede a derivada de ordem 2023 da função
.
Informações dadas: a função é e queremos
, isto é, a derivada de ordem
(onde o expoente entre parênteses denota número de derivadas sucessivas). Não há outras informações escondidas.
Informações dadas: a função é
Passo 2
Vamos começar calculando as primeiras derivadas para identificar um padrão — isso é o essencial aqui. Calcule passo a passo as derivadas de ordens baixas:
A derivada de ordem
(função original) é
A derivada de ordem
é
A derivada de ordem
é
A derivada de ordem
é
A derivada de ordem
é
Vou explicar cada passo: ao derivar
usamos a regra básica
. Depois derivamos
sabendo que
, portanto
, e assim por diante. Se isso estiver confuso, pense: derivar troca seno por cosseno (ou vice‑versa) e às vezes acrescenta um sinal negativo.
Passo 3
Observando os resultados do Passo 2 vemos um ciclo: depois de quatro derivações voltamos à função original. Em termos claros:
Ou seja, as derivadas de
repetem a cada
ordens. Esse tipo de repetição diz que o comportamento depende do resto da divisão do número de derivadas por
. Vou explicar a ideia: se você deriva
vezes, o resultado só depende de
porque o padrão tem período
.
Passo 4
Uma forma compacta e elegante de escrever a derivada de ordem
(onde
é um inteiro não negativo) é
Aqui explique o que cada símbolo significa:
-
é a derivada de ordem de ; -
é a variável independente; -
é o número de derivações aplicadas (um inteiro não negativo); -
é o deslocamento que gera o ciclo: cada derivada equivale a avançar na fase do cosseno.
Posso checar rapidamente: para
temos
, que confere; para
temos
, que também confere.
Passo 5
Agora aplicamos isso a
. Primeiro calculamos o resto da divisão de
por
para saber em qual elemento do ciclo cairá. Fazemos a divisão:
logo o resto é
. Uma forma prática de ver isso é notar que
é múltiplo de
(porque os dois últimos dígitos
são divisíveis por
), então
deixa resto
.
Passo 6
Com o resto
usamos o ciclo do Passo 3:
- resto
, - resto
, - resto
, - resto
.
Como
tem resto
, concluímos que
Se preferir ver pela fórmula do Passo 4:
Como
tem período
, o termo
some, sobrando
, conforme já obtivemos.