Determine f^{(2023)}(x) :
\cos x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de ordem 2023 da função f(x)=\cos x.
Informações dadas: a função é \cos x e queremos f^{(2023)}(x), isto é, a derivada de ordem 2023 (onde o expoente entre parênteses denota número de derivadas sucessivas). Não há outras informações escondidas.

Passo 2

Vamos começar calculando as primeiras derivadas para identificar um padrão — isso é o essencial aqui. Calcule passo a passo as derivadas de ordens baixas:
A derivada de ordem 0 (função original) é
f^{(0)}(x)=\cos x.
A derivada de ordem 1 é
f^{(1)}(x)=\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x.
A derivada de ordem 2 é
f^{(2)}(x)=\frac{d}{dx}(-\sin x)=-\cos x.
A derivada de ordem 3 é
f^{(3)}(x)=\frac{d}{dx}(-\cos x)=\sin x.
A derivada de ordem 4 é
f^{(4)}(x)=\frac{d}{dx}\sin x=\cos x.
Vou explicar cada passo: ao derivar \cos x usamos a regra básica \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x. Depois derivamos -\sin x sabendo que \frac{d}{dx}\sin x=\cos x, portanto \frac{d}{dx}(-\sin x)=-\cos x, e assim por diante. Se isso estiver confuso, pense: derivar troca seno por cosseno (ou vice‑versa) e às vezes acrescenta um sinal negativo.

Passo 3

Observando os resultados do Passo 2 vemos um ciclo: depois de quatro derivações voltamos à função original. Em termos claros:
f^{(0)}(x)=\cos x,\quad f^{(1)}(x)=-\sin x,\quad f^{(2)}(x)=-\cos x,\quad f^{(3)}(x)=\sin x,\quad f^{(4)}(x)=\cos x.
Ou seja, as derivadas de \cos x repetem a cada 4 ordens. Esse tipo de repetição diz que o comportamento depende do resto da divisão do número de derivadas por 4. Vou explicar a ideia: se você deriva n vezes, o resultado só depende de n \bmod 4 porque o padrão tem período 4.

Passo 4

Uma forma compacta e elegante de escrever a derivada de ordem n (onde n é um inteiro não negativo) é
f^{(n)}(x)=\cos\!\left(x + n\frac{\pi}{2}\right).
Aqui explique o que cada símbolo significa:
  • f^{(n)} é a derivada de ordem n de f;
  • x é a variável independente;
  • n é o número de derivações aplicadas (um inteiro não negativo);
  • \frac{\pi}{2} é o deslocamento que gera o ciclo: cada derivada equivale a avançar \frac{\pi}{2} na fase do cosseno.
Posso checar rapidamente: para n=1 temos \cos\!\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=-\sin x, que confere; para n=3 temos \cos\!\left(x+3\frac{\pi}{2}\right)=\sin x, que também confere.

Passo 5

Agora aplicamos isso a n=2023. Primeiro calculamos o resto da divisão de 2023 por 4 para saber em qual elemento do ciclo cairá. Fazemos a divisão:
2023 = 4\cdot 505 + 3,
logo o resto é 3. Uma forma prática de ver isso é notar que 2020 é múltiplo de 4 (porque os dois últimos dígitos 20 são divisíveis por 4), então 2023 deixa resto 3.

Passo 6

Com o resto 3 usamos o ciclo do Passo 3:
  • resto 0 \Rightarrow f^{(n)}(x)=\cos x,
  • resto 1 \Rightarrow f^{(n)}(x)=-\sin x,
  • resto 2 \Rightarrow f^{(n)}(x)=-\cos x,
  • resto 3 \Rightarrow f^{(n)}(x)=\sin x.
Como 2023 tem resto 3, concluímos que
f^{(2023)}(x)=\sin x.
Se preferir ver pela fórmula do Passo 4:
f^{(2023)}(x)=\cos\!\left(x+2023\frac{\pi}{2}\right)=\cos\!\left(x+ \left(4\cdot505+3\right)\frac{\pi}{2}\right)=\cos\!\left(x+505\cdot 2\pi + 3\frac{\pi}{2}\right).
Como \cos tem período 2\pi, o termo 505\cdot 2\pi some, sobrando \cos\!\left(x+3\frac{\pi}{2}\right)=\sin x, conforme já obtivemos.

Resposta

\sin x

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