Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de cada função dada, bem como os intervalos em que a concavidade da função é para cima ou para baixo. Faça um esboço do gráfico.
f(x)=x^{3}-3 x^{2}-9 x

Passo 1

O enunciado pede três coisas para a função f(x)=x^{3}-3x^{2}-9x:
  1. Determinar os intervalos em que a função cresce e decresce.
  2. Determinar os intervalos em que a concavidade é para cima ou para baixo.
  3. Fazer um esboço do gráfico (com os pontos importantes).
Informações dadas (explicitadas): a função é o polinômio \,f(x)=x^{3}-3x^{2}-9x. Não há outras condições ou restrições.

Passo 2

Primeiro passo técnico: calcular a derivada primeira f'(x). Vou te lembrar a regra que uso aqui: a regra do poder (power rule) diz que, para g(x)=x^{n}, temos g'(x)=n x^{n-1}. Aplicando termo a termo ao polinômio:
f(x)=x^{3}-3x^{2}-9x
Derivando cada termo:
\frac{d}{dx}(x^{3})=3x^{2},\qquad \frac{d}{dx}(-3x^{2})=-6x,\qquad \frac{d}{dx}(-9x)=-9.
Somando os resultados:
f'(x)=3x^{2}-6x-9.

Passo 3

Encontrar pontos críticos: são x tais que f'(x)=0 ou f' não existe. Aqui f' existe para todo x, então resolvemos f'(x)=0.
Começo fatorando a derivada:
f'(x)=3x^{2}-6x-9=3(x^{2}-2x-3).
Fator do polinômio quadrático x^{2}-2x-3: ele se fatoriza como (x-3)(x+1) porque -3\cdot 1=-3 e -3+1=-2. Logo
f'(x)=3(x-3)(x+1).
Agora resolvo f'(x)=0:
3(x-3)(x+1)=0 \implies x-3=0 \\ \text{ou}\\ x+1=0.
Portanto os pontos críticos são x=-1 e x=3.

Passo 4

Teste do sinal de f'(x) para determinar crescimento/decrescimento. A ideia: onde f'(x)>0 a função cresce; onde f'(x)<0 decresce. Vamos analisar os sinais dos fatores em cada intervalo determinado por -1 e 3.
Fatores: 3 (sempre positivo), (x+1) muda de sinal em x=-1, e (x-3) muda de sinal em x=3.
  • Para x<-1: temos x+1<0 e x-3<0. Produto (x+1)(x-3) é positivo (negativo vezes negativo). Multiplicando por 3>0, obtemos f'(x)>0. Logo f cresce em (-\infty,-1).
  • Para -1<x<3: temos x+1>0 e x-3<0. Produto negativo; então f'(x)<0. Logo f decresce em (-1,3).
  • Para x>3: temos x+1>0 e x-3>0. Produto positivo; então f'(x)>0. Logo f cresce em (3,\infty).
Interpretação prática (como usar na prova): calcule f'(x), fatorize, ache raízes e faça um quadro de sinais simples dos fatores para cada intervalo. Não precisa calcular valores enormes — apenas saber se cada fator é positivo ou negativo.

Passo 5

Classificação dos pontos críticos (máx./mín.) pelo teste da derivada: observe a mudança de sinal de f':
  • Em x=-1: f' vai de positivo (à esquerda) para negativo (à direita). Isso indica um máximo local em x=-1.
  • Em x=3: f' vai de negativo (à esquerda) para positivo (à direita). Isso indica um mínimo local em x=3.
Agora calculo as ordenadas (os valores de f nesses pontos) para colocar no esboço:
f(-1)=(-1)^{3}-3(-1)^{2}-9(-1)=-1-3+9=5.
f(3)=3^{3}-3\cdot 3^{2}-9\cdot 3=27-27-27=-27.
Portanto há um máximo local em (-1,5) e um mínimo local em (3,-27). Você pode usar esses pontos para desenhar o “pico” e o “vale”.

Passo 6

Agora cuide da concavidade: calculamos a derivada segunda f''(x). A derivada da derivada é:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}-6x-9\bigr)=6x-6.
Regra prática: onde f''(x)>0 a curva é côncava para cima (parece uma “tigela”); onde f''(x)<0 é côncava para baixo (parece um “teto”).
Resolvo f''(x)=0 para localizar possíveis pontos de inflexão:
6x-6=0 \implies x=1.
Testando sinais:
  • Para x<1: 6x-6<0 então f''(x)<0 → concavidade para baixo em (-\infty,1).
  • Para x>1: 6x-6>0 então f''(x)>0 → concavidade para cima em (1,\infty).
Portanto há um ponto de inflexão em x=1. Calculo a ordenada para localizar o ponto:
f(1)=1^{3}-3\cdot 1^{2}-9\cdot 1=1-3-9=-11.
Assim o ponto de inflexão é (1,-11).

Passo 7

Para desenhar um esboço útil, é bom conhecer as raízes (interseções com o eixo x) e o intercepto em y:
A função é f(x)=x^{3}-3x^{2}-9x=x(x^{2}-3x-9). Uma raiz é x=0. As outras duas raízes vêm da equação quadrática x^{2}-3x-9=0. Usando a fórmula de Bhaskara:
x=\frac{3\pm\sqrt{(-3)^{2}-4\cdot 1\cdot(-9)}}{2}=\frac{3\pm\sqrt{9+36}}{2}=\frac{3\pm\sqrt{45}}{2}=\frac{3\pm 3\sqrt{5}}{2}.
Valores aproximados (para posicionar no esboço):
x\approx \frac{3-3\sqrt{5}}{2}\approx -1{,}854\quad\text{e}\quad x\approx \frac{3+3\sqrt{5}}{2}\approx 4{,}854.
O intercepto em y é f(0)=0, ou seja, a curva passa pela origem.
Resumo dos pontos importantes para o desenho (vou listar para você marcar no rascunho):
  • Raízes: x\approx -1{,}854,\;0,\;4{,}854.
  • Máximo local: (-1,5).
  • Inflexão: (1,-11).
  • Mínimo local: (3,-27).

Passo 8

Esboço do gráfico (orientações para você desenhar no rascunho):
  1. Começa à esquerda com x\to -\infty, f(x)\to -\infty (pois o coeficiente líder do cúbico é positivo, o comportamento é: para x\to -\infty vai a -\infty; para x\to +\infty vai a +\infty).
  2. A curva sobe (cresce) em (-\infty,-1), cruza o eixo x em x\approx -1{,}854 vindo de baixo e atinge o máximo local em (-1,5).
  3. Depois desce (decresce) em (-1,3), cruza o eixo x novamente em x=0, passa pelo ponto de inflexão em (1,-11) (a concavidade muda de para baixo para para cima aqui) e continua descendo até o mínimo local em (3,-27).
  4. Depois do mínimo, a função sobe em (3,\infty), cruza o eixo x em x\approx 4{,}854 e segue para +\infty.
Ao desenhar, marque os pontos (-1,5), (1,-11), (3,-27) e as raízes aproximadas. Lembre-se de ajustar a escala vertical, pois o mínimo em (3,-27) é bem mais profundo que o máximo em (-1,5).

Passo 9

Comentários finais e incentivo rápido: você já tem as ferramentas que precisa para a prova — derivada para monotonia, derivada segunda para concavidade, e fazer o esboço juntando raízes, extremos e ponto de inflexão. Calma, faz devagar no rascunho e usa esses pontos-chave para guiar o desenho. Você manda bem.

Resposta

Crescimento: (-\infty,-1) e (3,\infty)
Decrescimento: (-1,3)
Concavidade para cima: (1,\infty)
Concavidade para baixo: (-\infty,1)

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