Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de cada função dada, bem como os intervalos em que a concavidade da função é para cima ou para baixo. Faça um esboço do gráfico.
Passo 1
O enunciado pede três coisas para a função
:
- Determinar os intervalos em que a função cresce e decresce.
- Determinar os intervalos em que a concavidade é para cima ou para baixo.
- Fazer um esboço do gráfico (com os pontos importantes).
Informações dadas (explicitadas): a função é o polinômio
. Não há outras condições ou restrições.
Passo 2
Primeiro passo técnico: calcular a derivada primeira
. Vou te lembrar a regra que uso aqui: a regra do poder (power rule) diz que, para
, temos
. Aplicando termo a termo ao polinômio:
Derivando cada termo:
Somando os resultados:
Passo 3
Encontrar pontos críticos: são
tais que
ou
não existe. Aqui
existe para todo
, então resolvemos
.
Começo fatorando a derivada:
Fator do polinômio quadrático
: ele se fatoriza como
porque
e
. Logo
Agora resolvo
:
Portanto os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Teste do sinal de
para determinar crescimento/decrescimento. A ideia: onde
a função cresce; onde
decresce. Vamos analisar os sinais dos fatores em cada intervalo determinado por
e
.
Fatores:
(sempre positivo),
muda de sinal em
, e
muda de sinal em
.
-
Para
: temos e . Produto é positivo (negativo vezes negativo). Multiplicando por , obtemos . Logo cresce em . -
Para
: temos e . Produto negativo; então . Logo decresce em . -
Para
: temos e . Produto positivo; então . Logo cresce em .
Interpretação prática (como usar na prova): calcule
, fatorize, ache raízes e faça um quadro de sinais simples dos fatores para cada intervalo. Não precisa calcular valores enormes — apenas saber se cada fator é positivo ou negativo.
Passo 5
Classificação dos pontos críticos (máx./mín.) pelo teste da derivada: observe a mudança de sinal de
:
- Em
: vai de positivo (à esquerda) para negativo (à direita). Isso indica um máximo local em . - Em
: vai de negativo (à esquerda) para positivo (à direita). Isso indica um mínimo local em .
Agora calculo as ordenadas (os valores de
nesses pontos) para colocar no esboço:
Portanto há um máximo local em
e um mínimo local em
. Você pode usar esses pontos para desenhar o “pico” e o “vale”.
Passo 6
Agora cuide da concavidade: calculamos a derivada segunda
. A derivada da derivada é:
Regra prática: onde
a curva é côncava para cima (parece uma “tigela”); onde
é côncava para baixo (parece um “teto”).
Resolvo
para localizar possíveis pontos de inflexão:
Testando sinais:
- Para
: então → concavidade para baixo em . - Para
: então → concavidade para cima em .
Portanto há um ponto de inflexão em
. Calculo a ordenada para localizar o ponto:
Assim o ponto de inflexão é
.
Passo 7
Para desenhar um esboço útil, é bom conhecer as raízes (interseções com o eixo
) e o intercepto em
:
A função é
. Uma raiz é
. As outras duas raízes vêm da equação quadrática
. Usando a fórmula de Bhaskara:
Valores aproximados (para posicionar no esboço):
O intercepto em
é
, ou seja, a curva passa pela origem.
Resumo dos pontos importantes para o desenho (vou listar para você marcar no rascunho):
- Raízes:
. - Máximo local:
. - Inflexão:
. - Mínimo local:
.
Passo 8
Esboço do gráfico (orientações para você desenhar no rascunho):
- Começa à esquerda com
, (pois o coeficiente líder do cúbico é positivo, o comportamento é: para vai a ; para vai a ). - A curva sobe (cresce) em
, cruza o eixo em vindo de baixo e atinge o máximo local em . - Depois desce (decresce) em
, cruza o eixo novamente em , passa pelo ponto de inflexão em (a concavidade muda de para baixo para para cima aqui) e continua descendo até o mínimo local em . - Depois do mínimo, a função sobe em
, cruza o eixo em e segue para .
Ao desenhar, marque os pontos
,
,
e as raízes aproximadas. Lembre-se de ajustar a escala vertical, pois o mínimo em
é bem mais profundo que o máximo em
.
Passo 9
Comentários finais e incentivo rápido: você já tem as ferramentas que precisa para a prova — derivada para monotonia, derivada segunda para concavidade, e fazer o esboço juntando raízes, extremos e ponto de inflexão. Calma, faz devagar no rascunho e usa esses pontos-chave para guiar o desenho. Você manda bem.
Resposta
Crescimento:
e
Decrescimento:
Concavidade para cima:
Concavidade para baixo:
Decrescimento:
Concavidade para cima:
Concavidade para baixo: