Determine f circ g, g circ f e encontre o dominio:
f(x)=tg x, g(x)=x2

Passo 1

O exercício pede para calcular as composições de funções f∘g e g∘f, e também determinar o domínio de cada uma. O conteúdo é composição de funções e análise de domínio, usando que dom(f∘g)={x∈dom(g)∣g(x)∈dom(f)} e que dom(g∘f)={x∈dom(f)∣f(x)∈dom(g)}.

Passo 2

Para f∘g aplicamos f sobre g(x). Temos g(x)= x/2, então
(fcirc g)(x)=fl(g(x)r)=tanl(tfracx2r)
Agora, dom(g)=ℝ e dom(f)=ℝ{ π/2 + kπ∣k∈ℤ}. Precisamos de x tal que x/2∈dom(f), ou seja x/2≠π/2+kπ, logo x≠π+2kπ. Portanto
dom(fcirc g)=Rsetminuspi+2kpi: k∈Z

Passo 3

Para g∘f aplicamos g sobre f(x). Temos f(x)=\tan x, então
(gcirc f)(x)=gl(f(x)r)=tan x2
Aqui dom(f)=ℝ{π/2+kπ} e dom(g)=ℝ. Para g∘f basta x∈dom(f), pois g não impõe restrição extra. Logo
dom(gcirc f)=Rsetminustfracπ2+kπ: k∈Z

Resposta

f∘g(x)=\tan(x/2), dom(f∘g)=ℝ{π+2kπ: k∈ℤ};
g∘f(x)=\tfrac{1}{2}\tan x, dom(g∘f)=ℝ{π/2+kπ: k∈ℤ}

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