Determine
e os domínios das funções compostas em cada caso:
.
Passo 1
O enunciado dá duas funções e pede três coisas: as duas composições e os domínios dessas funções compostas. As informações fornecidas são:
As perguntas que devemos responder são:
- Calcular
. - Calcular
. - Determinar o domínio de
e o domínio de .
Passo 2
Vou explicar rapidinho o conceito que vamos usar (pra você poder aplicar na prova): a composição
significa “primeiro aplico
em
, depois aplico
no resultado”. Em notação isso é
Ou seja, se escrevermos
, então
com
substituído por
. O mesmo vale para
.
Sobre domínio: o domínio de é o conjunto de
que pertencem ao domínio de
e tal que
pertence ao domínio de
. Em símbolos:
Sobre domínio: o domínio de
Mesma ideia para
.
Passo 3
Agora vamos calcular
passo a passo. Primeiro, escrevo
com uma entrada genérica
:
Substituo
por
, isto é, por
:
Passo 4
Faço a distribuição e simplificação das parcelas:
Agora somo
:
Portanto obtivemos a expressão final para a composição:
Passo 5
Vamos determinar o domínio de
. Observações úteis:
-
é um polinômio, logo tem domínio . -
é uma função linear, também polinomial, logo tem domínio .
Pelo critério de domínio da composição, precisamos de
tal que
. Mas como
, qualquer valor de
é permitido. Logo
Passo 6
Agora calculamos
passo a passo. Primeiro escrevo
com entrada genérica
:
Substituo
por
:
Passo 7
Faço a expansão e simplificação com calma:
Primeiro expando :
Primeiro expando
Agora somo as outras parcelas
, que simplificam para
. Então:
Portanto
Passo 8
Determino o domínio de
. Novamente,
e
são polinômios, ambos com domínio
. Pelo mesmo raciocínio do Passo 5, qualquer
é permitido, pois
toma valores reais e
aceita quaisquer reais como entrada. Logo