Determine (f \circ g)(x),(g \circ f)(x) e os domínios das funções compostas em cada caso:
f(x)=2 x+3, g(x)=x^{2}+x-1.

Passo 1

O enunciado dá duas funções e pede três coisas: as duas composições e os domínios dessas funções compostas. As informações fornecidas são:
f(x)=2x+3,
g(x)=x^{2}+x-1.
As perguntas que devemos responder são:
  1. Calcular (f\circ g)(x).
  2. Calcular (g\circ f)(x).
  3. Determinar o domínio de (f\circ g) e o domínio de (g\circ f).

Passo 2

Vou explicar rapidinho o conceito que vamos usar (pra você poder aplicar na prova): a composição (f\circ g)(x) significa “primeiro aplico g em x, depois aplico f no resultado”. Em notação isso é
(f\circ g)(x)=f\big(g(x)\big).
Ou seja, se escrevermos u=g(x), então f(g(x))=f(u) com u substituído por g(x). O mesmo vale para (g\circ f)(x)=g(f(x)).
Sobre domínio: o domínio de f\circ g é o conjunto de x que pertencem ao domínio de g e tal que g(x) pertence ao domínio de f. Em símbolos:
\operatorname{dom}(f\circ g)=\{x\in\operatorname{dom}(g)\mid g(x)\in\operatorname{dom}(f)\}.
Mesma ideia para \operatorname{dom}(g\circ f).

Passo 3

Agora vamos calcular (f\circ g)(x)=f(g(x)) passo a passo. Primeiro, escrevo f com uma entrada genérica u:
f(u)=2u+3.
Substituo u por g(x), isto é, por \,x^{2}+x-1:
(f\circ g)(x)=2\big(x^{2}+x-1\big)+3.

Passo 4

Faço a distribuição e simplificação das parcelas:
2\big(x^{2}+x-1\big)=2x^{2}+2x-2.
Agora somo +3:
2x^{2}+2x-2+3=2x^{2}+2x+1.
Portanto obtivemos a expressão final para a composição:
(f\circ g)(x)=2x^{2}+2x+1.

Passo 5

Vamos determinar o domínio de (f\circ g). Observações úteis:
  • g(x)=x^{2}+x-1 é um polinômio, logo tem domínio \mathbb{R}.
  • f(x)=2x+3 é uma função linear, também polinomial, logo tem domínio \mathbb{R}.
Pelo critério de domínio da composição, precisamos de x\in\operatorname{dom}(g)=\mathbb{R} tal que g(x)\in\operatorname{dom}(f)=\mathbb{R}. Mas como \operatorname{dom}(f)=\mathbb{R}, qualquer valor de g(x) é permitido. Logo
\operatorname{dom}(f\circ g)=\mathbb{R}.

Passo 6

Agora calculamos (g\circ f)(x)=g(f(x)) passo a passo. Primeiro escrevo g com entrada genérica u:
g(u)=u^{2}+u-1.
Substituo u por f(x)=2x+3:
(g\circ f)(x)=\big(2x+3\big)^{2}+\big(2x+3\big)-1.

Passo 7

Faço a expansão e simplificação com calma:
Primeiro expando \big(2x+3\big)^{2}:
\big(2x+3\big)^{2}=4x^{2}+12x+9.
Agora somo as outras parcelas (2x+3)-1, que simplificam para 2x+2. Então:
4x^{2}+12x+9+2x+2=4x^{2}+14x+11.
Portanto
(g\circ f)(x)=4x^{2}+14x+11.

Passo 8

Determino o domínio de (g\circ f). Novamente, f e g são polinômios, ambos com domínio \mathbb{R}. Pelo mesmo raciocínio do Passo 5, qualquer x\in\mathbb{R} é permitido, pois f(x) toma valores reais e g aceita quaisquer reais como entrada. Logo
\operatorname{dom}(g\circ f)=\mathbb{R}.

Resposta

(f\circ g)(x)=2x^{2}+2x+1
(g\circ f)(x)=4x^{2}+14x+11
\operatorname{dom}(f\circ g)=\mathbb{R}
\operatorname{dom}(g\circ f)=\mathbb{R}

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