Determine (f \circ g)(x),(g \circ f)(x) e os domínios das funções compostas em cada caso:
f(x)=\frac{3 x}{x+2}, g(x)=|x+2|-1.

Passo 1

O enunciado dá as duas funções
f(x)=\frac{3x}{x+2},\qquad g(x)=|x+2|-1,
e pede para determinar (f\circ g)(x), (g\circ f)(x) e os domínios das respectivas funções compostas.
Informações relevantes que temos: f não está definida em x=-2 (denominador zero) e g está definida para todo x\in\mathbb{R} (valor absoluto existe para todos os reais). A resolução começa substituindo uma função na outra e verificando as restrições de domínio.

Passo 2

Regra importante sobre domínio de composição (muito usada em prova): o domínio de f\circ g é o conjunto de x tais que x pertence ao domínio de g e g(x) pertence ao domínio de f. Analogamente, o domínio de g\circ f é o conjunto de x tais que x pertence ao domínio de f e f(x) pertence ao domínio de g. Vou aplicar essa regra sistematicamente.

Passo 3

Calculemos (f\circ g)(x)=f(g(x)) por substituição direta. Primeiro escrevo g(x):
g(x)=|x+2|-1.
Agora f(t)=\dfrac{3t}{t+2}. Substituindo t=g(x) temos
(f\circ g)(x)=\frac{3\,g(x)}{g(x)+2}=\frac{3\big(|x+2|-1\big)}{\big(|x+2|-1\big)+2}.
Somando no denominador \big(|x+2|-1\big)+2=|x+2|+1. Portanto uma forma compacta é
(f\circ g)(x)=\frac{3\big(|x+2|-1\big)}{|x+2|+1}.

Passo 4

Determinar o domínio de (f\circ g). Pela regra do Passo 2: domínio de g é \mathbb{R}, então precisamos apenas garantir que g(x) esteja no domínio de f. O domínio de f exclui o valor t=-2, ou seja precisamos que g(x)\neq -2. Vamos ver se existe x tal que
g(x)=-2 \quad\Longleftrightarrow\quad |x+2|-1=-2 \quad\Longleftrightarrow\quad |x+2|=-1.
Mas |x+2|\ge 0 para todo x, então |x+2|=-1 não tem solução real. Logo g(x) nunca é -2. Consequentemente não há restrição adicional: o domínio de f\circ g é todo \mathbb{R}. Observação alternativa e rápida: no resultado compacto o denominador é |x+2|+1, que é sempre \ge 1, nunca zero, confirmando domínio \mathbb{R}.

Passo 5

É comum e útil na prova expressar a composição envolvendo valor absoluto em forma piecewise (casos), pois facilita comparações. Lembremos que
|x+2|=\begin{cases}x+2,&x\ge -2,\\\ -(x+2)=-x-2,&x< -2.\end{cases}
Substituindo em (f\circ g)(x)=\dfrac{3(|x+2|-1)}{|x+2|+1} obtemos dois casos:
  • Para x\ge -2:
|x+2|=x+2\quad\Rightarrow\quad (f\circ g)(x)=\frac{3\big((x+2)-1\big)}{(x+2)+1}=\frac{3(x+1)}{x+3}.
  • Para x< -2:
|x+2|=-x-2\quad\Rightarrow\quad (f\circ g)(x)=\frac{3\big((-x-2)-1\big)}{(-x-2)+1}=\frac{3(-x-3)}{-x-1}.
Fatorando um -1 em numerador e denominador obtemos
\frac{3(-x-3)}{-x-1}=\frac{3(x+3)}{x+1}.
Verificação rápida de denominadores: nas expressões piecewise aparecem x+3 e x+1 no denominador, mas para x\ge -2 o valor x=-3 não pertence ao caso x\ge-2 e para x<-2 o valor x=-1 não pertence ao caso x<-2. Além disso, como mostrado antes o denominador original |x+2|+1 nunca anula. Então não surgem restrições extras.
Portanto forma piecewise completa:
(f\circ g)(x)=\begin{cases}\dfrac{3(x+1)}{x+3},&x\ge -2,\\[6pt]\dfrac{3(x+3)}{x+1},&x< -2.\end{cases}]

Passo 6

Agora calculemos (g\circ f)(x)=g(f(x)). Começo com f(x)=\dfrac{3x}{x+2}. Pela definição de g,
(g\circ f)(x)=\big|f(x)+2\big|-1=\left|\frac{3x}{x+2}+2\right|-1.
Faço a soma dentro do valor absoluto juntando frações (colocando sobre o mesmo denominador x+2):
\frac{3x}{x+2}+2=\frac{3x+2(x+2)}{x+2}=\frac{3x+2x+4}{x+2}=\frac{5x+4}{x+2}.
Logo
(g\circ f)(x)=\left|\frac{5x+4}{x+2}\right|-1.
Podemos também escrever \left|\dfrac{5x+4}{x+2}\right|=\dfrac{|5x+4|}{|x+2|}, mas a forma \left|\dfrac{5x+4}{x+2}\right|-1 é clara e suficiente para a prova.

Passo 7

Determinar o domínio de (g\circ f). Pela regra do Passo 2, o domínio de g\circ f consiste dos x que estão no domínio de f e tais que f(x) pertence ao domínio de g. Mas g está definida para todos os reais, então a única restrição vem do domínio de f: x\neq -2. Portanto
\text{domínio}(g\circ f)=\mathbb{R}\setminus\{-2\}.í
Não surgem outras exclusões (o valor absoluto não cria novas proibições, e a fração já evidencia a única restrição x\neq -2).

Resposta

(f\circ g)(x)=\dfrac{3\big(|x+2|-1\big)}{|x+2|+1}=\begin{cases}\dfrac{3(x+1)}{x+3},&x\ge -2,\\[6pt]\dfrac{3(x+3)}{x+1},&x< -2.\end{cases}
\text{Domínio}\,(f\circ g)=\mathbb{R}.í
(g\circ f)(x)=\left|\dfrac{5x+4}{x+2}\right|-1.
\text{Domínio}\,(g\circ f)=\mathbb{R}\setminus\{-2\}.í]

Exercícios relacionados