Questão 15. Determine se as sequências abaixo de termo geral
são convergentes. Calcule o limite, se existir, usando as propriedades de limites.
Passo 1
O enunciado dá a sequência de termo geral
e pede para determinar se essa sequência é convergente e, se for, calcular o limite.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A sequência é o produto de duas partes: o sinal alternante
e a fração . - Precisamos decidir se
existe e, caso exista, encontrar seu valor.
Passo 2
Primeiro raciocínio útil (estratégia): escrever
como produto de uma parte que só dá sinais
e uma parte positiva que tende a um limite. Isto ajuda porque existe uma propriedade de limites que diz que, se duas sequências
e
convergirem para
e
respectivamente, então a sequência
converge para
. Vou analisar a parte positiva
separadamente e ver o que acontece com o sinal
.
Passo 3
Calcular o limite da parte positiva
. Para isso, divido numerador e denominador por
:
Agora uso que
quando
. Portanto o denominador
tende para
. Como a função
é contínua em
, segue que
Explicando passo a passo:
porque os números
vão ficando cada vez menores; somando isso a
dá algo que tende a
; e o inverso de algo que tende a
tende a
.
Passo 4
Observar o comportamento do fator de sinal
. Esse fator vale
para índices ímpares e
para índices pares. Mais precisamente:
- Se
é ímpar, , então . - Se
é par, , então .
Assim, os termos da sequência alternam sinal: termos ímpares são positivos e termos pares são negativos.
Passo 5
Construir as duas subsequências (índices ímpares e índices pares) para ver seus limites:
- Subsequência dos termos de índice ímpar:
Como vimos no Passo 3, a parte fracionária
tem o mesmo tipo de limite quando
(divide-se por
e obtém
). Logo
- Subsequência dos termos de índice par:
Novamente a parte fracionária
tende a
, então
Passo 6
Conclusão usando o fato sobre subsequências: se uma sequência converge, então todas as suas subsequências convergem para o mesmo limite. Aqui encontramos duas subsequências que convergem, mas para limites diferentes:
(ímpares) e
(pares). Como esses limites são distintos, a sequência original não pode convergir.
Intuição rápida e encorajamento: a parte numérica
vai se aproximando de
, mas o sinal fica alternando entre
e
. Então os termos “pulam” entre valores próximos de
e de
, e isso impede um limite único. Você já viu um caso simples parecido:
não converge porque alterna entre
e
; aqui é a mesma oscilação, só que com amplitude que tende a
.
Resposta
A sequência não converge:
não existe.