Questão 15. Determine se as sequências abaixo de termo geral a_{n} são convergentes. Calcule o limite, se existir, usando as propriedades de limites.
a_{n}=(-1)^{n+1} \cdot \frac{n}{2 n+1}

Passo 1

O enunciado dá a sequência de termo geral \displaystyle a_{n}=(-1)^{n+1}\cdot\frac{n}{2n+1} e pede para determinar se essa sequência é convergente e, se for, calcular o limite.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A sequência é o produto de duas partes: o sinal alternante (-1)^{n+1} e a fração \dfrac{n}{2n+1}.
  • Precisamos decidir se \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n existe e, caso exista, encontrar seu valor.

Passo 2

Primeiro raciocínio útil (estratégia): escrever a_n como produto de uma parte que só dá sinais (\pm 1) e uma parte positiva que tende a um limite. Isto ajuda porque existe uma propriedade de limites que diz que, se duas sequências (x_n) e (y_n) convergirem para x e y respectivamente, então a sequência (x_n y_n) converge para xy. Vou analisar a parte positiva \dfrac{n}{2n+1} separadamente e ver o que acontece com o sinal (-1)^{n+1}.

Passo 3

Calcular o limite da parte positiva \dfrac{n}{2n+1}. Para isso, divido numerador e denominador por n:
\frac{n}{2n+1}=\frac{1}{2+\dfrac{1}{n}}.
Agora uso que \dfrac{1}{n}\to 0 quando n\to\infty. Portanto o denominador 2+\dfrac{1}{n} tende para 2. Como a função x\mapsto \dfrac{1}{x} é contínua em x=2, segue que
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2n+1}=\frac{1}{2}.
Explicando passo a passo: \dfrac{1}{n}\to 0 porque os números 1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{3},\dots vão ficando cada vez menores; somando isso a 2 dá algo que tende a 2; e o inverso de algo que tende a 2 tende a \tfrac{1}{2}.

Passo 4

Observar o comportamento do fator de sinal (-1)^{n+1}. Esse fator vale +1 para índices ímpares e -1 para índices pares. Mais precisamente:
  • Se n é ímpar, n=2k-1, então (-1)^{n+1}=(-1)^{2k}=+1.
  • Se n é par, n=2k, então (-1)^{n+1}=(-1)^{2k+1}=-1.
Assim, os termos da sequência alternam sinal: termos ímpares são positivos e termos pares são negativos.

Passo 5

Construir as duas subsequências (índices ímpares e índices pares) para ver seus limites:
  • Subsequência dos termos de índice ímpar:
a_{2k-1}=(-1)^{2k-1+1}\cdot\frac{2k-1}{2(2k-1)+1}=+1\cdot\frac{2k-1}{4k-1}.
Como vimos no Passo 3, a parte fracionária \dfrac{2k-1}{4k-1} tem o mesmo tipo de limite quando k\to\infty (divide-se por k e obtém \tfrac{1}{2}). Logo
\lim_{k\to\infty} a_{2k-1}=\frac{1}{2}.
  • Subsequência dos termos de índice par:
a_{2k}=(-1)^{2k+1}\cdot\frac{2k}{4k+1}=-1\cdot\frac{2k}{4k+1}.
Novamente a parte fracionária \dfrac{2k}{4k+1} tende a \tfrac{1}{2}, então
\lim_{k\to\infty} a_{2k}=-\frac{1}{2}.

Passo 6

Conclusão usando o fato sobre subsequências: se uma sequência converge, então todas as suas subsequências convergem para o mesmo limite. Aqui encontramos duas subsequências que convergem, mas para limites diferentes: \tfrac{1}{2} (ímpares) e -\tfrac{1}{2} (pares). Como esses limites são distintos, a sequência original não pode convergir.
Intuição rápida e encorajamento: a parte numérica \dfrac{n}{2n+1} vai se aproximando de \tfrac{1}{2}, mas o sinal fica alternando entre + e -. Então os termos “pulam” entre valores próximos de \tfrac{1}{2} e de -\tfrac{1}{2}, e isso impede um limite único. Você já viu um caso simples parecido: (-1)^n não converge porque alterna entre 1 e -1; aqui é a mesma oscilação, só que com amplitude que tende a \tfrac{1}{2}.

Resposta

A sequência não converge: \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n não existe.

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