Determine se f é injetora.
f(x)=7 x-3

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a função f é injetora.
Informações fornecidas:
  • A função é f(x)=7x-3.
  • Não foi dado domínio ou contradomínio explicitamente; vou trabalhar com o caso mais comum na graduação: f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} (função real para real).

Passo 2

Definição de injetividade (explicada de forma simples):
Uma função f é injetora quando valores diferentes na entrada sempre produzem valores diferentes na saída. Em linguagem matemática: f é injetora se, sempre que
f(x_1)=f(x_2),
segue-se que
x_1=x_2.
Essa é a propriedade que vamos verificar para f(x)=7x-3.

Passo 3

Estratégia escolhida (método direto e elementar): assumir que f(x_1)=f(x_2) e manipular essa igualdade algebricamente até obter x_1=x_2. Se isso acontecer para quaisquer x_1,x_2, então f é injetora. Este é o método mais básico e seguro para funções definidas por expressão algébrica.

Passo 4

Escrevendo a hipótese f(x_1)=f(x_2) usando a expressão da função:
f(x_1)=7x_1-3,\qquad f(x_2)=7x_2-3,
então a hipótese é
7x_1-3=7x_2-3.

Passo 5

Simplificar a igualdade: somar 3 em ambos os lados (ou simplesmente cancelar -3 de ambos os lados) dá
7x_1=7x_2.

Passo 6

Dividir ambos os lados por 7. Aqui uso um fato elementar de álgebra: se a é diferente de zero e ax=ay, então x=y (podemos dividir ambos os lados por a). Como 7\neq0, ao dividir obtemos
x_1=x_2.
Isso mostra que sempre que f(x_1)=f(x_2) ocorre x_1=x_2, exatamente a condição de injetividade.

Passo 7

Comentário alternativo e intuitivo (útil para lembrar na prova): f(x)=7x-3 é uma função afim com coeficiente angular 7. Como 7>0, a função é estritamente crescente em \mathbb{R}: se x_1<x_2 então 7x_1-3<7x_2-3. Funções estritamente monotônicas (crescentes ou decrescentes) são sempre injetoras. Isso fornece uma verificação rápida sem cálculo algébrico detalhado.

Resposta

Sim, f é injetora.

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