Determine se
é injetora.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a função
é injetora.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A função é
. - Não foi dado domínio ou contradomínio explicitamente; vou trabalhar com o caso mais comum na graduação:
(função real para real).
Passo 2
Definição de injetividade (explicada de forma simples):
Uma função é injetora quando valores diferentes na entrada sempre produzem valores diferentes na saída. Em linguagem matemática:
é injetora se, sempre que
Uma função
segue-se que
Essa é a propriedade que vamos verificar para
.
Passo 3
Estratégia escolhida (método direto e elementar): assumir que
e manipular essa igualdade algebricamente até obter
. Se isso acontecer para quaisquer
, então
é injetora. Este é o método mais básico e seguro para funções definidas por expressão algébrica.
Passo 4
Escrevendo a hipótese
usando a expressão da função:
então a hipótese é
Passo 5
Simplificar a igualdade: somar
em ambos os lados (ou simplesmente cancelar
de ambos os lados) dá
Passo 6
Dividir ambos os lados por
. Aqui uso um fato elementar de álgebra: se
é diferente de zero e
, então
(podemos dividir ambos os lados por
). Como
, ao dividir obtemos
Isso mostra que sempre que
ocorre
, exatamente a condição de injetividade.
Passo 7
Comentário alternativo e intuitivo (útil para lembrar na prova):
é uma função afim com coeficiente angular
. Como
, a função é estritamente crescente em
: se
então
. Funções estritamente monotônicas (crescentes ou decrescentes) são sempre injetoras. Isso fornece uma verificação rápida sem cálculo algébrico detalhado.
Resposta
Sim,
é injetora.