Fatores os Polinômio abaixo:
6 x^{2}+12 x

Passo 1

O enunciado pede que se fatorize o polinômio dado. A expressão fornecida é 6x^{2}+12x.
Informações relevantes dadas:
  • Termos do polinômio: 6x^{2} e 12x.
  • Coeficientes numéricos: 6 e 12.
  • Potências de x: x^{2} e x^{1}.

Passo 2

Ideia que vamos usar: sempre que possível, fatoramos primeiro o maior fator comum a todos os termos (o chamado fator comum). Isso simplifica o polinômio e é o passo inicial mais direto para fatoração.
Como encontrar o fator comum:
  • Para os coeficientes 6 e 12, listando divisores:
    • Divisores de 6: 1,2,3,6.
    • Divisores de 12: 1,2,3,4,6,12.
    • O maior divisor comum é 6. Logo o maior fator numérico comum é 6.
  • Para as potências de x: temos x^{2} e x^{1}. O menor expoente comum é 1, então um fator x é comum a ambos os termos.
Portanto, o maior fator comum a todos os termos é 6x.

Passo 3

Agora vamos dividir cada termo pelo fator comum 6x para obter os fatores restantes dentro do parêntese.
Calculemos cada divisão:
  • \dfrac{6x^{2}}{6x} = x, porque cancelamos 6 e subtraímos expoentes de x ( 2-1=1).
  • \dfrac{12x}{6x} = 2, porque 12/6=2 e x/x=1.
Assim, ao fatorar 6x em evidência, o polinômio fica:
6x^{2}+12x = 6x\bigl(x+2\bigr).

Passo 4

Verificação pela propriedade distributiva (para garantir que não cometemos erro):
Multiplicando de volta:
6x\bigl(x+2\bigr)=6x\cdot x + 6x\cdot 2 = 6x^{2}+12x,
que é exatamente a expressão original. Logo a fatoração está correta.

Passo 5

Observações adicionais úteis para a prova:
  • A fatoração 6x(x+2) é a fatoração por fator comum. Nesse caso já é uma fatoração completa sobre os racionais, porque x+2 não pode ser fatorado mais (é de grau 1).
  • Se precisar resolver a equação \,6x^{2}+12x=0, use a fatoração: 6x(x+2)=0 \implies x=0 \quad\text{ou}\quad x=-2.
  • Método geral para outros polinômios: sempre procure primeiro o maior fator comum (numérico e variável) antes de tentar outros métodos (trinômios, soma/diferença de cubos, etc.). Isso economiza tempo na prova.

Resposta

6x(x+2)

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