Fatores os Polinômio abaixo:
Passo 1
O enunciado pede que se fatorize o polinômio dado. A expressão fornecida é
.
Informações relevantes dadas:
- Termos do polinômio:
e . - Coeficientes numéricos:
e . - Potências de
: e .
Passo 2
Ideia que vamos usar: sempre que possível, fatoramos primeiro o maior fator comum a todos os termos (o chamado fator comum). Isso simplifica o polinômio e é o passo inicial mais direto para fatoração.
Como encontrar o fator comum:
- Para os coeficientes
e , listando divisores: - Divisores de
: . - Divisores de
: . - O maior divisor comum é
. Logo o maior fator numérico comum é .
- Divisores de
- Para as potências de
: temos e . O menor expoente comum é , então um fator é comum a ambos os termos.
Portanto, o maior fator comum a todos os termos é
.
Passo 3
Agora vamos dividir cada termo pelo fator comum
para obter os fatores restantes dentro do parêntese.
Calculemos cada divisão:
-
, porque cancelamos e subtraímos expoentes de ( ). -
, porque e .
Assim, ao fatorar
em evidência, o polinômio fica:
Passo 4
Verificação pela propriedade distributiva (para garantir que não cometemos erro):
Multiplicando de volta:
Multiplicando de volta:
que é exatamente a expressão original. Logo a fatoração está correta.
Passo 5
Observações adicionais úteis para a prova:
- A fatoração
é a fatoração por fator comum. Nesse caso já é uma fatoração completa sobre os racionais, porque não pode ser fatorado mais (é de grau 1). - Se precisar resolver a equação
, use a fatoração: - Método geral para outros polinômios: sempre procure primeiro o maior fator comum (numérico e variável) antes de tentar outros métodos (trinômios, soma/diferença de cubos, etc.). Isso economiza tempo na prova.