Determine se F é ou não um campo conservativo. Se for, determine uma função f tal que F=nabla f.
F(x, y)=(3 x^2-y^2) i+(4 x y+3) j

Passo 1

Temos o campo vetorial F(x,y)=(3x^2 - y^2),i + (4xy+3),j. O conteúdo é campos conservativos em R^2 e vamos precisar usar o critério de igualdade das derivadas parciais em um domínio simplesmente conexo.

Passo 2

Identificamos P(x,y)=3x^2 - y^2 e Q(x,y)=4xy+3. O critério de conservatividade diz que em um domínio sem “buracos” temos F conservativo se e somente se partial Ppartial y=partial Qpartial x.

Passo 3

Calculamos partial Ppartial y=partialpartial y(3x^2 - y^2)=-2y.
Calculamos partial Qpartial x=partialpartial x(4xy+3)=4y.

Passo 4

Como -2y não é igual a 4y para valores gerais de y, concluímos que F não satisfaz o critério de conservatividade em todo R^2, logo não é um campo conservativo.

Resposta

F não é um campo conservativo, portanto não existe função potencial f tal que F=nabla f.

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