Determine se F é ou não um campo conservativo. Se for, determine uma função f tal que F=nabla f.
F(x, y)=(y^2+cos x) i+(2 y sen x-x sen y) j

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo vetorial F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))=(y^2+cos x,,2ysin x - xsin y) é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial f tal que nabla f=F. Para isso vamos usar a condição de igualdade das derivadas parciais cruzadas em um domínio simplesmente conexo (aqui ).

Passo 2

Calculamos a derivada parcial de P em relação a y:
partial Ppartial y(x,y)=partialpartial yl(y^2+cos xr)=2y

Passo 3

Calculamos a derivada parcial de Q em relação a x:
partial Qpartial x(x,y)=partialpartial xl(2ysin x - xsin yr)=2ycos x - sin y

Passo 4

Como 2yneq 2ycos x - sin y de forma geral em , temos R^2. Portanto o campo não satisfaz a condição de conservatividade.

Passo 5

Conclusão: F não é conservativo, logo não existe função potencial f com nabla f=F.

Resposta

F não é conservativo.

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