Determine se F é ou não um campo conservativo. Se for, determine uma função f tal que \mathbf{F}=\nabla f.
\mathbf{F}(x, y)=\left(x y+y^{2}\right) \mathbf{i}+\left(x^{2}+2 x y\right) \mathbf{j}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se \mathbf{F}(x,y)=(P(x,y),Q(x,y)) é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar f tal que \mathbf{F}=\nabla f. O domínio de \mathbf{F} é todo \mathbb{R}^2, que é simplesmente conexo, e P e Q são polinomiais (logo têm derivadas contínuas).

Passo 2

Escrevemos
P(x,y)=xy+y^2, \qquad Q(x,y)=x^2+2xy
e calculamos as derivadas parciais cruzadas:
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}(xy+y^2) =x+2y,
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}(x^2+2xy) =2x+2y.

Passo 3

Um campo é conservativo em \mathbb{R}^2 se, e somente se, \partial P/\partial y = \partial Q/\partial x em todo o domínio. Aqui
\frac{\partial P}{\partial y}=x+2y \quad\text{e}\quad \frac{\partial Q}{\partial x}=2x+2y,
e claramente x+2y\neq 2x+2y para x\neq0. Logo, as derivadas cruzadas não coincidem.

Resposta

\mathbf{F} não é um campo conservativo.

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