Determine se F é ou não um campo vetorial conservador. Se for, determine uma função (f) tal que (F)=(∇f).
F(x, y)=e^{x} cos y i+e^{x} sen y j

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial \mathbf{F}(x,y)=e^x\cos y\,\mathbf{i}+e^x\sin y\,\mathbf{j}.
O conteúdo aqui é testar se \mathbf{F} é conservador em \mathbb{R}^2, que é simplesmente conectado. Pelo teorema, basta verificar se
\frac{\partial P}{\partial y} \;=\;\frac{\partial Q}{\partial x}
onde P(x,y)=e^x\cos y e Q(x,y)=e^x\sin y.

Passo 2

Identificamos
P(x,y)=e^x\cos y
e
Q(x,y)=e^x\sin y
e calculamos
\frac{\partial P}{\partial y} = -e^x\sin y
e
\frac{\partial Q}{\partial x} = e^x\sin y

Passo 3

Como \partial P/\partial y=-e^x\sin y\neq e^x\sin y=\partial Q/\partial x para pontos gerais (x,y), o rotacional de \mathbf{F} não é nulo. Logo, \mathbf{F} não é conservador em \mathbb{R}^2.

Resposta

\mathbf{F} não é conservador, pois \partial P/\partial y\neq\partial Q/\partial x.

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