Um reator químico possui seção transversal descrita pela função
(em metros), com
.
χ) Calcule a integral indefinida de
.
2) Determine o volume do reator por revolução em torno do eixo vertical.
3) Resolva a integral do volume utilizando substituição por partes.
4) Explique como a determinação de volumes é essencial para projetos em Engenharia Química, conectando inovação tecnológica (ODS 9), eficiência urbana (ODS 11) e sustentabilidade nos processos (ODS 12).
χ) Calcule a integral indefinida de
2) Determine o volume do reator por revolução em torno do eixo vertical.
3) Resolva a integral do volume utilizando substituição por partes.
4) Explique como a determinação de volumes é essencial para projetos em Engenharia Química, conectando inovação tecnológica (ODS 9), eficiência urbana (ODS 11) e sustentabilidade nos processos (ODS 12).
Passo 1
O enunciado dá a altura do reator em função do raio
por
e pede:
- a integral indefinida de
; - o volume gerado ao revolver esse perfil em torno do eixo vertical;
- resolver a integral do volume por partes;
- discutir a importância da determinação de volumes em Engenharia Química conectando ODS 9, 11 e 12.
Para isso vamos usar cálculo de integrais simples e o método das cascas cilíndricas para volume de revolução.
Passo 2
Para a integral indefinida basta integrar termo a termo:
Passo 3
O volume do sólido de revolução em torno do eixo vertical, usando cascas cilíndricas, é
Passo 4
Calculando diretamente a integral:
Portanto
Passo 5
Agora usando integração por partes em
:
Escolha
Escolha
Aplicando
De
a
isso dá
levando de novo a
.
Passo 6
Em Engenharia Química projetar reatores exige conhecer volumes exatos: isso garante que o reator tenha capacidade adequada para as taxas de reação e trocas de calor previstas. Ligando a ODS 9 (inovação tecnológica), o cálculo preciso de volume alimenta o desenvolvimento de reatores avançados e modulares; com a ODS 11 (cidades sustentáveis) otimiza o uso de espaço em plantas industriais urbanas; e pela ODS 12 (produção responsável) evita desperdício de materiais e energia, pois ajusta o volume ao mínimo necessário sem comprometer a produtividade.
Resposta
-
-
- A integral do volume por partes confirma
- O cálculo de volumes é crucial para dimensionar reatores de forma inovadora (ODS 9), eficiente em espaço urbano (ODS 11) e sustentável (ODS 12).