Um reator químico possui seção transversal descrita pela função h(r)=6-\frac{r^{2}}{9} (em metros), com 0 \leq r \leq 3.
χ) Calcule a integral indefinida de h(r).
2) Determine o volume do reator por revolução em torno do eixo vertical.
3) Resolva a integral do volume utilizando substituição por partes.
4) Explique como a determinação de volumes é essencial para projetos em Engenharia Química, conectando inovação tecnológica (ODS 9), eficiência urbana (ODS 11) e sustentabilidade nos processos (ODS 12).

Passo 1

O enunciado dá a altura do reator em função do raio r por
h(r)=6-\frac{r^{2}}{9},\quad 0\le r\le3,
e pede:
  1. a integral indefinida de h(r);
  2. o volume gerado ao revolver esse perfil em torno do eixo vertical;
  3. resolver a integral do volume por partes;
  4. discutir a importância da determinação de volumes em Engenharia Química conectando ODS 9, 11 e 12.
    Para isso vamos usar cálculo de integrais simples e o método das cascas cilíndricas para volume de revolução.

Passo 2

Para a integral indefinida basta integrar termo a termo:
\int h(r)\,\mathrm{d}r = \int\Bigl(6-\tfrac{r^{2}}{9}\Bigr)\,\mathrm{d}r = 6\int \mathrm{d}r \;-\;\tfrac{1}{9}\int r^{2}\,\mathrm{d}r = 6r \;-\;\tfrac{r^{3}}{27}+C.

Passo 3

O volume do sólido de revolução em torno do eixo vertical, usando cascas cilíndricas, é
V = \int_{0}^{3}2\pi\,r\,h(r)\,\mathrm{d}r =2\pi\int_{0}^{3}\Bigl(6r-\tfrac{r^{3}}{9}\Bigr)\mathrm{d}r.

Passo 4

Calculando diretamente a integral:
\int_{0}^{3}\Bigl(6r-\tfrac{r^{3}}{9}\Bigr)\mathrm{d}r =6\!\int_{0}^{3}r\,\mathrm{d}r \;-\;\tfrac{1}{9}\!\int_{0}^{3}r^{3}\,\mathrm{d}r =6\Bigl[\tfrac{r^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{3} -\tfrac{1}{9}\Bigl[\tfrac{r^{4}}{4}\Bigr]_{0}^{3} =6\cdot\tfrac{9}{2}-\tfrac{1}{9}\cdot\tfrac{81}{4} =27-\tfrac{9}{4} = \tfrac{108-9}{4} = \tfrac{99}{4}.
Portanto
V =2\pi\cdot\tfrac{99}{4}= \tfrac{99\pi}{2}=49{,}5\,\pi\\ \text{m}^{3}.

Passo 5

Agora usando integração por partes em \displaystyle \int r\,(6-\tfrac{r^2}{9})\,\mathrm{d}r:
Escolha
u=6-\tfrac{r^2}{9},\quad \mathrm{d}v=r\,\mathrm{d}r \quad\Longrightarrow\quad \mathrm{d}u=-\tfrac{2r}{9}\,\mathrm{d}r,\quad v=\tfrac{r^2}{2}.
Aplicando
\int u\,\mathrm{d}v =uv-\int v\,\mathrm{d}u =\Bigl(6-\tfrac{r^2}{9}\Bigr)\tfrac{r^2}{2} -\int \tfrac{r^2}{2}\Bigl(-\tfrac{2r}{9}\Bigr)\mathrm{d}r =\tfrac{6r^2}{2}-\tfrac{r^4}{18} +\tfrac{1}{9}\int r^3\,\mathrm{d}r =3r^2-\tfrac{r^4}{18}+\tfrac{r^4}{36} =3r^2-\tfrac{r^4}{36}.
De 0 a 3 isso dá
\Bigl[3r^2-\tfrac{r^4}{36}\Bigr]_{0}^{3} =3\cdot9-\tfrac{81}{36} =27-\tfrac{9}{4} =\tfrac{99}{4},
levando de novo a V=2\pi\cdot\tfrac{99}{4}=49{,}5\,\pi.

Passo 6

Em Engenharia Química projetar reatores exige conhecer volumes exatos: isso garante que o reator tenha capacidade adequada para as taxas de reação e trocas de calor previstas. Ligando a ODS 9 (inovação tecnológica), o cálculo preciso de volume alimenta o desenvolvimento de reatores avançados e modulares; com a ODS 11 (cidades sustentáveis) otimiza o uso de espaço em plantas industriais urbanas; e pela ODS 12 (produção responsável) evita desperdício de materiais e energia, pois ajusta o volume ao mínimo necessário sem comprometer a produtividade.

Resposta

  1. \displaystyle \int h(r)\,\mathrm{d}r =6r-\tfrac{r^{3}}{27}+C.
  2. \displaystyle V=49{,}5\,\pi\\ \mathrm{m}^3.
  3. A integral do volume por partes confirma V=49{,}5\,\pi\\ \mathrm{m}^3.
  4. O cálculo de volumes é crucial para dimensionar reatores de forma inovadora (ODS 9), eficiente em espaço urbano (ODS 11) e sustentável (ODS 12).

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