A força necessária para comprimir um gás em um pistão pode ser modelada por
(em Newtons), onde
é o deslocamento em cm.
- Determine a integral indefinida de
.
- Calcule o trabalho realizado no intervalo
.
- Resolva a integral usando integração por partes.
- Analise a importância desse cálculo no dimensionamento de processos químicos, destacando inovação (ODS 9), impacto urbano (ODS 11) e produção responsável (ODS 12).
Passo 1
O enunciado dá a força em função do deslocamento como
para
em centímetros, e pede:
- a integral indefinida
; - o trabalho
; - resolver essa integral por partes;
- discutir a importância desse cálculo nos processos químicos segundo os ODS 9, 11 e 12.
Passo 2
Para achar a integral indefinida usamos as regras básicas:
Somando e adicionando a constante
, obtemos
Passo 3
O trabalho é
Convertendo para joules
,
Passo 4
Fazendo integração por partes em
, tomamos
Logo
coincidindo com o resultado direto.
Passo 5
Esse cálculo de trabalho é fundamental no dimensionamento de pistões e compressores em processos químicos, pois:
- Inovação (ODS 9): permite otimizar o design de máquinas, economizando energia e impulsionando tecnologias mais eficientes.
- Impacto urbano (ODS 11): reduz consumo elétrico e emissões em instalações industriais na cidade, melhorando a qualidade do ar e a infraestrutura local.
- Produção responsável (ODS 12): quantifica energia gasta e indica caminhos para minimizar desperdícios, promovendo processos químicos mais sustentáveis.
Resposta
-
. -
. - Por partes com
, obtém-se . - Essencial para otimizar máquinas (ODS 9), reduzir impacto urbano (ODS 11) e garantir produção responsável (ODS 12).