A força necessária para comprimir um gás em um pistão pode ser modelada por F(x)= 2000+50 x (em Newtons), onde x é o deslocamento em cm.
  1. Determine a integral indefinida de F(x).
  2. Calcule o trabalho realizado no intervalo [0,10] \mathrm{cm}.
  3. Resolva a integral usando integração por partes.
  4. Analise a importância desse cálculo no dimensionamento de processos químicos, destacando inovação (ODS 9), impacto urbano (ODS 11) e produção responsável (ODS 12).

Passo 1

O enunciado dá a força em função do deslocamento como
F(x)=2000+50\,x
para x em centímetros, e pede:
  1. a integral indefinida \int F(x)\,dx;
  2. o trabalho W=\displaystyle\int_{0}^{10}F(x)\,dx;
  3. resolver essa integral por partes;
  4. discutir a importância desse cálculo nos processos químicos segundo os ODS 9, 11 e 12.

Passo 2

Para achar a integral indefinida usamos as regras básicas:
\int2000\,dx=2000x,\qquad \int50x\,dx=25x^{2}.
Somando e adicionando a constante C, obtemos
\int F(x)\,dx=2000x+25x^{2}+C.

Passo 3

O trabalho é
W=\int_{0}^{10}(2000+50x)\,dx =\Bigl[2000x+25x^{2}\Bigr]_{0}^{10} =2000\cdot10+25\cdot10^{2}-0 =20000+2500=22500\;\mathrm{N\cdot cm}.
Convertendo para joules 1\,\mathrm{N\cdot cm}=0,01\,\mathrm{J},
W=22500\times0,01=225\;\mathrm{J}.

Passo 4

Fazendo integração por partes em \displaystyle\int(2000+50x)\,dx, tomamos
u=2000+50x,\quad dv=dx \quad\Longrightarrow\quad du=50\,dx,\quad v=x.
Logo
\int u\,dv=uv-\int v\,du =(2000+50x)x-\int50x\,dx =2000x+50x^{2}-25x^{2} =2000x+25x^{2}+C,
coincidindo com o resultado direto.

Passo 5

Esse cálculo de trabalho é fundamental no dimensionamento de pistões e compressores em processos químicos, pois:
  • Inovação (ODS 9): permite otimizar o design de máquinas, economizando energia e impulsionando tecnologias mais eficientes.
  • Impacto urbano (ODS 11): reduz consumo elétrico e emissões em instalações industriais na cidade, melhorando a qualidade do ar e a infraestrutura local.
  • Produção responsável (ODS 12): quantifica energia gasta e indica caminhos para minimizar desperdícios, promovendo processos químicos mais sustentáveis.

Resposta

  1. \displaystyle\int F(x)\,dx=2000x+25x^{2}+C.
  2. W=\int_{0}^{10}(2000+50x)\,dx=22500\;\mathrm{N\cdot cm}=225\;\mathrm{J}.
  3. Por partes com u=2000+50x, dv=dx obtém-se 2000x+25x^{2}+C.
  4. Essencial para otimizar máquinas (ODS 9), reduzir impacto urbano (ODS 11) e garantir produção responsável (ODS 12).

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