Determine e para cada função fornecida. Pode-se afirmar que é diferenciável em 0 ?

Passo 1

O enunciado pede as derivadas laterais de uma função em 0 e verificar diferenciabilidade. A função é piecewise: para x≤0, f(x)=0; para x>0, f(x)=x². Vamos usar a definição de derivada lateral em 0.

Passo 2

Para calcular a derivada à esquerda usamos a definição
f-^prime(0)=limhto0^-f(0+h)-f(0)h
Como para h<0 temos f(h)=0 e f(0)=0, o quociente é
0-0h=0
e o limite vale 0.

Passo 3

Para calcular a derivada à direita usamos a definição
f+^prime(0)=limhto0^+f(0+h)-f(0)h
Para h>0 temos f(h)=h² e f(0)=0, o quociente é
h^2-0h=h
e o limite quando h→0⁺ vale 0.

Passo 4

Como ambas as derivadas laterais são iguais (0), concluímos que f é diferenciável em 0 e f’(0)=0.

Resposta

f_-\prime(0)=0, f_+\prime(0)=0. Logo f é diferenciável em 0 com f’(0)=0.

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