Determine
e
para cada função
fornecida. Pode-se afirmar que
é diferenciável em 0 ?
Passo 1
O enunciado pede as derivadas laterais de uma função em 0 e verificar diferenciabilidade. A função é piecewise: para x≤0, f(x)=0; para x>0, f(x)=x². Vamos usar a definição de derivada lateral em 0.
Passo 2
Para calcular a derivada à esquerda usamos a definição
Como para h<0 temos f(h)=0 e f(0)=0, o quociente é
e o limite vale 0.
Passo 3
Para calcular a derivada à direita usamos a definição
Para h>0 temos f(h)=h² e f(0)=0, o quociente é
e o limite quando h→0⁺ vale 0.
Passo 4
Como ambas as derivadas laterais são iguais (0), concluímos que f é diferenciável em 0 e f’(0)=0.
Resposta
f_-\prime(0)=0, f_+\prime(0)=0. Logo f é diferenciável em 0 com f’(0)=0.