Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^infty 1n^n
converge ou diverge. O conteúdo aqui é séries numéricas e vamos usar o teste da raiz, que é especialmente útil quando o termo geral envolve potências de n.

Passo 2

Definimos an = 1/n^n. O teste da raiz diz que devemos calcular
L = limsupntoinfty raiz[n]|an|
Se L<1, a série converge absolutamente; se L>1, diverge; se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos calcular a raiz enésima de an:
raiz[n]an = raiz[n]1n^n = 1n
Portanto cada termo da raiz simplifica para tfrac1n.

Passo 4

Agora avaliamos o limite:
L = limntoinfty 1n = 0
Como 0<1, o teste da raiz garante que a série converge absolutamente, logo converge.

Resposta

A série sumn=1^infty 1n^n é convergente.

Exercícios relacionados