Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{n}}
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{n}}
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge. O conteúdo aqui é séries numéricas e vamos usar o teste da raiz, que é especialmente útil quando o termo geral envolve potências de .
converge ou diverge. O conteúdo aqui é séries numéricas e vamos usar o teste da raiz, que é especialmente útil quando o termo geral envolve potências de
Passo 2
Definimos
. O teste da raiz diz que devemos calcular
Se
, a série converge absolutamente; se
, diverge; se
, o teste é inconclusivo.
Passo 3
Vamos calcular a raiz enésima de
:
Portanto cada termo da raiz simplifica para
.
Passo 4
Agora avaliamos o limite:
Como
, o teste da raiz garante que a série converge absolutamente, logo converge.
Resposta
A série
é convergente.