Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+2}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^infty1n+2
é convergente ou divergente. O conteúdo usado aqui são séries de termos positivos e testes de comparação, em especial o Teste da Comparação Limite com a série harmônica.

Passo 2

Observamos que a série harmônica
sumn=1^infty1n
é conhecida por divergir. Como todos os termos de 1n+2 são positivos, podemos usar o Teste da Comparação Limite: definimos
an = 1n+2, bn = 1n

Passo 3

Calculamos o limite
limntoinftyanbn = limntoinfty1/(n+2)1/n = limntoinftynn+2 = 1
Como esse limite é finito e estritamente maior que zero, e sabendo que sum bn diverge, o Teste da Comparação Limite nos garante que
sum an
também diverge.

Resposta

A série diverge.

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