O enunciado pede para estudar a convergência da série
Aqui estamos no conteúdo de testes de convergência de séries numéricas. Como há fator poderíamos usar teste da série alternante, mas uma boa estratégia é verificar primeiro convergência absoluta, pois isso garante convergência da série original.
Passo 2
Para testar convergência absoluta, analisamos
Como e^1/n é monótona decrescente para n>=1 e satisfaz
1<= e^1/n<= e,
temos
0<= e^1/nn^3<= en^3
Mas a série
sumn=1^inftyen^3
é convergente, pois é uma série-p com expoente 3>1.
Passo 3
Pelo teste da comparação, como sum e/n^3 converge, segue que
sumn=1^inftye^1/nn^3
converge também. Logo a série original converge absolutamente.
Resposta
A série converge (na verdade, converge absolutamente).