Determine se a série converge ou diverge.
sumn-1^infty (-1)^n e^1 / nn^3

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^infty (-1)^ne^1/nn^3
Aqui estamos no conteúdo de testes de convergência de séries numéricas. Como há fator (-1)^n poderíamos usar teste da série alternante, mas uma boa estratégia é verificar primeiro convergência absoluta, pois isso garante convergência da série original.

Passo 2

Para testar convergência absoluta, analisamos
gl|(-1)^ne^1/nn^3gr| =e^1/nn^3
Como e^1/n é monótona decrescente para n>=1 e satisfaz
1<= e^1/n<= e,
temos
0<= e^1/nn^3<= en^3
Mas a série
sumn=1^inftyen^3
é convergente, pois é uma série-p com expoente 3>1.

Passo 3

Pelo teste da comparação, como sum e/n^3 converge, segue que
sumn=1^inftye^1/nn^3
converge também. Logo a série original converge absolutamente.

Resposta

A série converge (na verdade, converge absolutamente).

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